Using the definition, determine the instantaneous velocity of a point moving in a straight line according to
Using the definition, determine the instantaneous velocity of a point moving in a straight line according to the law x(t) = 3t^3 + 2 at the moment t0 = 2.
Ledyanoy_Podryvnik 37
Хорошо, чтобы определить мгновенную скорость точки в движении по прямой, согласно данному закону \(x(t) = 3t^3 + 2\), мы можем использовать следующий подход:Шаг 1: Найдем производную функции \(x(t)\) по времени \(t\).
Шаг 2: Подставим значение \(t = t_0\) в полученную производную.
Шаг 3: Проанализируем и объясним полученный результат в контексте мгновенной скорости.
Шаг 1: Найдем производную функции \(x(t)\) по времени \(t\):
\[x"(t) = \frac{{d}}{{dt}}(3t^3 + 2)\]
Для нахождения производной многочлена мы можем применить правило дифференцирования степенной функции. Если у нас есть функция \(f(t) = t^n\), то производная этой функции равна \(f"(t) = n \cdot t^{n-1}\). Применим это правило к нашей функции:
\[x"(t) = \frac{{d}}{{dt}}(3t^3 + 2) = 3 \cdot \frac{{d}}{{dt}}(t^3) + 0 = 3 \cdot 3t^{3-1} + 0 = 9t^2\]
Шаг 2: Подставим значение \(t = t_0\) в полученную производную:
\[v(t_0) = 9 \cdot t_0^2\]
Шаг 3: Получившееся выражение \(v(t_0) = 9 \cdot t_0^2\) представляет мгновенную скорость точки в момент времени \(t_0\) в движении по прямой, соответствующей данному закону. Чтобы определить конкретное численное значение этой скорости, мы должны знать значение \(t_0\). Если у вас есть значение \(t_0\), вы можете подставить его в выражение и рассчитать мгновенную скорость.
Например, если \(t_0 = 2\), то мгновенная скорость точки в момент времени \(t_0 = 2\) будет равна:
\[v(2) = 9 \cdot 2^2 = 9 \cdot 4 = 36\]
Итак, мгновенная скорость точки в момент времени \(t_0 = 2\) будет равна 36, предполагая, что \(t_0 = 2\). Мгновенная скорость показывает, с какой скоростью точка движется в данный момент времени и является скалярной величиной.