Докажите, что функция y=5e^3x является решением дифференциального уравнения y =-2y

Гроза

60

Для начала, чтобы доказать, что функция y=5e^(3x) является решением дифференциального уравнения y"=-2y, мы должны вычислить первые и вторые производные функции y и проверить их соответствие уравнению.

Начнем с вычисления первой производной функции y по переменной x. Воспользуемся правилом дифференцирования для функции y=5e^(3x):

\[y" = 5 \cdot 3 \cdot e^(3x) = 15e^(3x)\]

Теперь рассчитаем вторую производную функции y по переменной x:

\[y"" = \frac{d}{dx} (15e^(3x)) = 15 \cdot 3 \cdot e^(3x) = 45e^(3x)\]

Теперь у нас есть выражение для второй производной функции y. Далее мы должны проверить, что оно равно -2y, как указано в дифференциальном уравнении.

Для этого заменим y в уравнении -2y на наше значение функции y=5e^(3x):

\[-2 \cdot 5e^(3x) = -10e^(3x)\]

Как видим, у нас получилось значение -10e^(3x), которое отличается от второй производной функции 45e^(3x). Это значит, что функция y=5e^(3x) не является решением дифференциального уравнения y"=-2y.

Таким образом, мы не можем доказать, что функция y=5e^(3x) является решением данного дифференциального уравнения.