Докажите, что (котангенс 210° + двойной косинус 120°)(тангенс 420° - двойной синус 330°) равняется четырём косинусам

Ledyanoy_Samuray_7275

23

Давайте разберемся с этой задачей пошагово.

1. Начнем с выражения \((\cot 210^\circ + 2\cos 120^\circ)(\tan 420^\circ - 2\sin 330^\circ)\).

2. Первым делом рассмотрим \(\cot 210^\circ\). Котангенс - это обратная функция к тангенсу, поэтому мы можем записать \(\cot 210^\circ = \frac{1}{\tan 210^\circ}\).

3. Теперь нам нужно вычислить \(\tan 210^\circ\). Мы знаем, что тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. В этом случае, противолежащий катет равен 1, а прилежащий катет равен \(-\sqrt{3}\) (так как угол 210° находится в третьем квадранте). Следовательно, \(\tan 210^\circ = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\).

4. Вернемся к исходному выражению и заменим \(\cot 210^\circ\) на \(\frac{1}{\tan 210^\circ}\):

\[
\left(\frac{1}{\tan 210^\circ} + 2\cos 120^\circ\right)(\tan 420^\circ - 2\sin 330^\circ)
\]

5. Теперь рассмотрим \(\cos 120^\circ\). Косинус 120° равен \(-\frac{1}{2}\), так как угол 120° находится в третьем квадранте, а косинус отрицательный в этой области.

6. Вернемся к исходному выражению и заменим \(\cos 120^\circ\) на \(-\frac{1}{2}\):

\[
\left(\frac{1}{\tan 210^\circ} + 2\left(-\frac{1}{2}\right)\right)(\tan 420^\circ - 2\sin 330^\circ)
\]

7. Теперь вычислим \(\tan 420^\circ\). Угол 420° находится в четвертом квадранте, и мы можем использовать ту же логику, что и для угла 210°. Таким образом, \(\tan 420^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}\).

8. Вернемся к исходному выражению и заменим \(\tan 420^\circ\) на \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\):

\[
\left(\frac{1}{\tan 210^\circ} + 2\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{3} - 2\sin 330^\circ\right)
\]

9. Теперь рассмотрим \(\sin 330^\circ\). Синус 330° можно выразить через синус 30°, так как синус имеет периодичность 360°. Синус 30° равен \(0.5\), поэтому \(\sin 330^\circ = -0.5\).

10. Вернемся к исходному выражению и заменим \(\sin 330^\circ\) на \(-0.5\):

\[
\left(\frac{1}{\tan 210^\circ} + 2\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{3} - 2(-0.5)\right)
\]

11. Теперь произведем вычисления внутри скобок:

\(\frac{1}{\tan 210^\circ} + 2\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} + (-1) = -\frac{1+\sqrt{3}}{3}\)

\(\left(-\frac{\sqrt{3}}{3} - 2(-0.5)\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 = \frac{1-\sqrt{3}}{3}\)

12. Теперь заменим эти выражения в исходном выражении:

\[
\frac{1-\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1+\sqrt{3}}{3} = \frac{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{3 \cdot 3} = \frac{1^2 - (\sqrt{3})^2}{9} = \frac{1-3}{9} = \frac{-2}{9}
\]

13. Теперь нам нужно доказать, что \(\frac{-2}{9}\) равняется четырем косинусам в квадрате 315°.

\(\cos 315^\circ\) равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\), так как угол 315° находится в четвертом квадранте, а косинус отрицательный в этой области.

Теперь найдем четыре косинуса в квадрате 315°:

\((\cos 315^\circ)^4 = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = \frac{1}{2}\).

Итак, \(\frac{-2}{9} = \frac{1}{2}\), что означает, что выражение \((\cot 210^\circ + 2\cos 120^\circ)(\tan 420^\circ - 2\sin 330^\circ)\) равно четырем косинусам в квадрате 315°.