Определите точки экстремума функции y=6x−12cosx, где x находится в диапазоне от -π/2 до π. Ваш ответ (выведите

Fedor

61

Чтобы найти точки экстремума функции \(y=6x-12\cos(x)\), нам нужно найти значения \(x\), где производная функции равна нулю или не существует. Давайте начнем с нахождения производной этой функции.

Функция \(y=6x-12\cos(x)\) является комбинацией линейной функции \(6x\) и тригонометрической функции \(-12\cos(x)\). При нахождении производной нам нужно учесть оба этих компонента.

Производная линейной функции \(6x\) равна просто 6.

Производная функции \(-12\cos(x)\) будет равна \(12\sin(x)\). Мы используем тригонометрическое тождество \(\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\), а также учитываем коэффициент -12.

Теперь суммируем оба компонента, чтобы получить производную функции \(y\):

\(\frac{dy}{dx} = 6 - 12\sin(x)\).

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\(6 - 12\sin(x) = 0\).

Теперь найдем значения \(x\), удовлетворяющие этому уравнению. Ограничение \(x\) в диапазоне от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\pi\) означает, что мы ищем значения \(x\) в этом диапазоне.

Выразим \(\sin(x)\) из уравнения:

\(12\sin(x) = 6\),

\(\sin(x) = \frac{1}{2}\).

Мы знаем, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\) (или \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\)).

Таким образом, из уравнения \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) мы получаем два значения \(x\): \(x_1 = 30^\circ\) (или \(x_1 = \frac{\pi}{6}\)) и \(x_2 = 150^\circ\) (или \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\)).

Таким образом, точки экстремума функции \(y=6x-12\cos(x)\), где \(x\) находится в диапазоне от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\pi\), равны \(x_1 = 30^\circ\) и \(x_2 = 150^\circ\) (или \(x_1 = \frac{\pi}{6}\) и \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\)).

Теперь давайте определим, какие типы экстремумов соответствуют этим точкам.

Для этого мы можем взять вторую производную функции \(y=6x-12\cos(x)\) и проверить ее значение в каждой точке экстремума.

Вторая производная функции \(y=6x-12\cos(x)\) равна \(\frac{d^2y}{dx^2} = -12\cos(x)\).

Подставим значения \(x_1 = 30^\circ\) (или \(x_1 = \frac{\pi}{6}\)) и \(x_2 = 150^\circ\) (или \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\)) во вторую производную:

Для \(x_1 = 30^\circ\) (или \(x_1 = \frac{\pi}{6}\)):

\(-12\cos(30^\circ) = -12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -6\sqrt{3}\),

\(-12\cos(\frac{\pi}{6}) = -12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -6\sqrt{3}\).

Для \(x_2 = 150^\circ\) (или \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\)):

\(-12\cos(150^\circ) = -12\cdot\frac{-\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\),

\(-12\cos(\frac{5\pi}{6}) = -12\cdot\frac{-\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\).

Таким образом, в точках экстремума \(x_1 = 30^\circ\) и \(x_2 = 150^\circ\) (или \(x_1 = \frac{\pi}{6}\) и \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\)) значение второй производной равно \(-6\sqrt{3}\) и \(6\sqrt{3}\) соответственно. Это означает, что в точке \(x_1\) функция имеет локальный максимум, а в точке \(x_2\) - локальный минимум.

Таким образом, ответ: \(x_1 = 30^\circ\) (или \(x_1 = \frac{\pi}{6}\)) - локальный максимум, \(x_2 = 150^\circ\) (или \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\)) - локальный минимум.