Докажите, что кратность суммы двух простых чисел на 12, если их разность равна 2, а значение меньшего числа превышает

Чайный_Дракон

66

Для решения данной задачи, давайте вначале определимся с обозначениями. Обозначим первое простое число как \(p_1\), а второе простое число как \(p_2\). В условии задачи сказано, что разность этих двух чисел равна 2, а значение меньшего числа превышает 2. Обозначим меньшее число как \(p_1\) и большее число как \(p_2\). Теперь мы можем записать следующую систему уравнений:

\[p_2 - p_1 = 2\]
\[p_1 > 2\]

Предположим, что сумма двух простых чисел не кратна 12. Это означает, что сумма \(p_1 + p_2\) не делится на 12 без остатка. Мы можем записать это следующим образом:

\((p_1 + p_2) \mod 12 \neq 0\)

Теперь давайте рассмотрим все возможные случаи остатков при делении на 12. Возможные остатки при делении суммы на 12 могут быть от 0 до 11. Для наглядности, давайте рассмотрим каждый случай по отдельности.

- Остаток 0: Если \((p_1 + p_2) \mod 12 = 0\), тогда сумма делится на 12 без остатка. Это означает, что кратность суммы двух простых чисел на 12.
- Остаток 1: Если \((p_1 + p_2) \mod 12 = 1\), это означает, что сумма имеет остаток 1 при делении на 12. Из этого следует, что \((p_1 + p_2 - 12) \mod 12 = -11\) (вычитаем 12 из суммы). Но по условию разность равна 2, а значит \((p_1 - p_2) \mod 12 = 2\). Таким образом, \((p_1 - p_2) - 12 = 2\), откуда \(p_1 - p_2 = 14\). Так как мы предположили, что \(p_2 > p_1\), то это противоречит условию задачи.
- Остаток 2: Если \((p_1 + p_2) \mod 12 = 2\), то \((p_1 + p_2 - 12) \mod 12 = -10\). Аналогично предыдущему случаю, это приводит к противоречию с условием задачи.
- Остаток 3: Если \((p_1 + p_2) \mod 12 = 3\), то \((p_1 + p_2 - 12) \mod 12 = -9\). Снова получаем противоречие.
- Остаток 4: Если \((p_1 + p_2) \mod 12 = 4\), то \((p_1 + p_2 - 12) \mod 12 = -8\). И снова противоречие.
- Остаток 5: Если \((p_1 + p_2) \mod 12 = 5\), то \((p_1 + p_2 - 12) \mod 12 = -7\). Противоречие.
- Остаток 6: Если \((p_1 + p_2) \mod 12 = 6\), то \((p_1 + p_2 - 12) \mod 12 = -6\). Опять получаем противоречие.
- Остаток 7: Если \((p_1 + p_2) \mod 12 = 7\), то \((p_1 + p_2 - 12) \mod 12 = -5\). Противоречие.
- Остаток 8: Если \((p_1 + p_2) \mod 12 = 8\), то \((p_1 + p_2 - 12) \mod 12 = -4\). Противоречие.
- Остаток 9: Если \((p_1 + p_2) \mod 12 = 9\), то \((p_1 + p_2 - 12) \mod 12 = -3\). Противоречие.
- Остаток 10: Если \((p_1 + p_2) \mod 12 = 10\), то \((p_1 + p_2 - 12) \mod 12 = -2\). Противоречие.
- Остаток 11: Если \((p_1 + p_2) \mod 12 = 11\), то \((p_1 + p_2 - 12) \mod 12 = -1\). Противоречие.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные остатки при делении на 12 и в каждом случае получили противоречие со значениями исходных чисел. Следовательно, наше предположение неверно. Значит, сумма двух простых чисел кратна 12.