Переформулируйте вопрос: а) Найти корни уравнения 5x в четвертой степени -80=0. б) Решить уравнение 1/3x в третьей

Звездопад_На_Горизонте

62

а) Нам нужно найти корни уравнения \(5x^4 - 80 = 0\). Чтобы найти корни, мы должны решить уравнение и найти значения \(x\), которые делают уравнение верным.

Для начала, давайте перепишем уравнение в более привычной форме:
\[5x^4 = 80\]

Затем мы можем разделить обе стороны на 5, чтобы избавиться от коэффициента перед \(x^4\):
\[x^4 = 16\]

Теперь возведем обе стороны уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от степени:
\[(x^4)^{\frac{1}{4}} = (16)^{\frac{1}{4}}\]

Это превратится в:
\[x = 2\]

Таким образом, уравнение \(5x^4 - 80 = 0\) имеет один корень, равный 2.

б) Дано уравнение \(\frac{1}{3}x^3 + 9 = 0\). Нам нужно найти его корни.

Для начала, давайте избавимся от знаменателя, умножив обе стороны уравнения на 3:
\[x^3 + 27 = 0\]

Затем вычтем 27 из обеих сторон:
\[x^3 = -27\]

Теперь возведем обе стороны уравнения в третью степень, чтобы избавиться от степени:
\[(x^3)^{\frac{1}{3}} = (-27)^{\frac{1}{3}}\]

Таким образом, мы получим:
\[x = -3\]

Таким образом, уравнение \(\frac{1}{3}x^3 + 9 = 0\) имеет один корень, равный -3.

в) У нас дано уравнение \(x^{10} + 1 = 0\), и мы должны найти значения \(x\), при которых это уравнение удовлетворяется.

Одно из свойств степени гласит, что для любого числа \(a\), если \(a^{2n} = -1\), где \(n\) - целое число, то \(a = \sqrt{(-1)^{\frac{1}{2n}}}\).

Поскольку здесь \(n = 5\), то
\[x = \sqrt{(-1)^{\frac{1}{10}}}\]

Так как эквивалентное представление \(\sqrt{(-1)}\) это \(i\), мы можем записать
\[x = i^{\frac{1}{10}}\]

Теперь, мы знаем, что \(i\) - это комплексная единица, которая имеет циклический характер с периодом 4. Значит, у нас будет 10 разных решений для этого уравнения, соответствующих каждому циклу периода 4.

Один из корней будет:
\[x_1 = i^{\frac{1}{10}} = i^0 = 1\]

Теперь, для остальных 9 корней, мы можем использовать этот циклический шаблон:
\[x_k = i^{\frac{1}{10} + \frac{4k}{10}}\]

Где \(k\) принимает значения от 1 до 9.

Таким образом, уравнение \(x^{10} + 1 = 0\) имеет 10 различных корней: 1, \(i^{\frac{1}{10}}\), \(i^{\frac{3}{10}}\), \(i^{\frac{5}{10}}\), \(i^{\frac{7}{10}}\), \(i^{\frac{9}{10}}\), \(i^{\frac{11}{10}}\), \(i^{\frac{13}{10}}\), \(i^{\frac{15}{10}}\), \(i^{\frac{17}{10}}\).