Докажите, что на данном множестве функция y=sin2x возрастает. Пожалуйста, выполните 1) и 2) пункты в этом задании

Пуфик

18

1) Для начала нам необходимо показать, что функция \(y = \sin^2{x}\) возрастает на заданном множестве. Давайте вспомним определение возрастающей функции. Функция \(f(x)\) называется возрастающей на интервале \((a, b)\), если для любых двух значений \(x_1\) и \(x_2\) из этого интервала, выполняется неравенство \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\).

2) Теперь применим это определение к нашей функции \(y = \sin^2{x}\). Пусть у нас имеются два значения \(x_1\) и \(x_2\), где \(x_1 < x_2\) и оба значения принадлежат заданному множеству.

3) Для удобства в дальнейшем рассуждении, введём следующие обозначения:
- \(a = \sin^2{x_1}\)
- \(b = \sin^2{x_2}\)

4) Теперь рассмотрим \(b - a\) и попытаемся его упростить:
\[b - a = \sin^2{x_2} - \sin^2{x_1}\]

5) Воспользуемся формулой разности квадратов:
\[b - a = (\sin{x_2} + \sin{x_1})(\sin{x_2} - \sin{x_1})\]

6) Раскроем скобки:
\[b - a = \sin{x_2}\sin{x_2} - \sin{x_2}\sin{x_1} + \sin{x_1}\sin{x_2} - \sin{x_1}\sin{x_1}\]

7) Обратим внимание на каждое слагаемое по отдельности:
- \(\sin{x_2}\sin{x_2}\) является положительным, так как квадрат синуса всегда неотрицателен.
- \(-\sin{x_2}\sin{x_1}\) и \(\sin{x_1}\sin{x_2}\) вместе равны нулю, так как \(\sin{x_2}\sin{x_1} = \sin{x_1}\sin{x_2}\) (коммутативность умножения) и числа противоположны друг другу по знаку.
- \(-\sin{x_1}\sin{x_1}\) является отрицательным, так как квадрат синуса всегда неотрицателен, и минус перед ним.

8) Получаем:
\[b - a = \sin^2{x_2} - \sin^2{x_1} = \sin^2{x_2} - \sin^2{x_1} > 0\]

9) Таким образом, мы показали, что \(\sin^2{x}\) возрастает на заданном множестве \(x\), так как для любых двух значений \(x_1\) и \(x_2\), где \(x_1 < x_2\), выполняется неравенство \(b - a > 0\). Отсюда следует, что функция \(y = \sin^2{x}\) также возрастает на этом множестве.

Это пошаговое решение позволяет нам понять, каким образом мы пришли к выводу о возрастании функции и обосновать наше решение школьнику.