Докажите, что отношение длины отрезка DM к длине отрезка EF равно половине: DM = EF/2

Shnur

30

Чтобы доказать, что отношение длины отрезка DM к длине отрезка EF равно половине, нам нужно воспользоваться теоремой об отношении длин секущей и хорды, взятой в треугольнике. Для этого рассмотрим следующую ситуацию:

Представим, что у нас есть окружность с центром в точке O, а отрезок DM является секущей, пересекающей окружность в точках D и M, а отрезок EF - хордой, пересекающей окружность в точках E и F.

Теперь давайте взглянем на связь между этими отрезками. Из теоремы об отношении длин секущей и хорды, мы знаем, что отношение длины секущей к длине хорды равно отношению произведения отрезков секущей к произведению отрезков хорды. Поэтому мы можем записать следующее:

\(\frac{{DM}}{{EF}} = \frac{{DO \cdot DN}}{{EO \cdot FN}}\)

Здесь DO и EO - это отрезки от центра O до точек D и E, а DN и FN - отрезки от центра O до точек N и F соответственно.

Но так как точка N является серединой хорды EF, то длина отрезка NO будет равна половине длины хорды, то есть NO = EF/2. Аналогично, длина отрезка MO также будет равна половине длины хорды, т.е. MO = EF/2.

Теперь, если мы подставим эти значения в формулу, получим:

\(\frac{{DM}}{{EF}} = \frac{{DO \cdot DN}}{{EO \cdot FN}} = \frac{{DO \cdot NO}}{{EO \cdot MO}} = \frac{{DO}}{{EO}}\)

Примечание: Здесь мы использовали факт, что сегменты находятся в одинаковом отношении к хорде одной и той же дуги окружности.

Таким образом, мы видим, что отношение длины отрезка DM к длине отрезка EF равно отношению отрезков DO и EO:

\(\frac{{DM}}{{EF}} = \frac{{DO}}{{EO}}\)

Так как отрезки DO и EO соответствуют сторонам треугольника, то это значит, что отношение DM к EF равно отношению сторон треугольника. Значит, мы можем записать следующее:

\(\frac{{DM}}{{EF}} = \frac{{DO}}{{EO}} = \frac{{1}}{{2}}\)

Таким образом, мы доказали, что отношение длины отрезка DM к длине отрезка EF равно половине.