Докажите, что плоскость α, которая проходит через прямую ba1, параллельную прямой cb1, делит диагональ

Solnechnyy_Zaychik

19

Чтобы доказать, что плоскость α делит диагональ ac1 параллелепипеда в отношении 1:2, от вершины a, нам нужно найти точку пересечения плоскости α с диагональю ac1 и найти отношение расстояний от вершины a до этой точки и от этой точки до вершины c1.

Поскольку прямая ba1 параллельна прямой cb1 и разделяется плоскостью α, значит, прямая cb1 также параллельна плоскости α.

Для начала, найдем точку пересечения плоскости α с диагональю ac1. Обозначим эту точку как P. Поскольку ac1 - диагональ ромба abcd, то она проходит через его центр. Также, поскольку abcd - ромб, он является плоскостью симметрии, и, следовательно, ac1 делит его диагонали пополам.

То есть, длина отрезка ap будет равна половине длины диагонали ac1. Так как ac1 = 10, то ap = ac1/2 = 10/2 = 5.

Теперь найдем отрезок cp. Поскольку apc прямой треугольник, то отношение длин отрезков ap и cp будет равно соответствующему отношению сторон треугольника apc. Найдем это отношение.

Заметим, что треугольник apc и треугольник dpc подобны, поскольку у них соответствующие углы равны: угол apc и угол dpc - прямые углы. Также, у них есть общий угол pac, так как точка p является точкой пересечения плоскости α и диагонали ac1.

Таким образом, отношение сторон треугольника apc и треугольника dpc будет таким же, как и отношение соответствующих сторон, то есть, отношение длин ap и dp.

Так как ap = 5, нужно найти dp. Для этого, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника acd:

\(ac^2 = ad^2 + cd^2\)

По условию, ac = 10, а bd = 8. Так как abcd - ромб, то ad = bd/2 = 8/2 = 4. Подставляем значения:

\(10^2 = 4^2 + cd^2\)

\(100 = 16 + cd^2\)

\(cd^2 = 100 - 16 = 84\)

\(cd = \sqrt{84}\)

\(cd \approx 9.17\)

Теперь, чтобы найти dp, нужно вычесть ap из cd:

\(dp = cd - ap\)

\(dp = 9.17 - 5 = 4.17\)

Таким образом, отношение длин ap и cp будет равно отношению 5 к 4.17.

Проверим, совпадает ли это отношение с требуемым отношением 1:2. Для этого, поделим 5 на 4.17:

\(5 / 4.17 \approx 1.2\)

Отношение 1:2 оказывается близким к отношению 1.2.

Теперь, чтобы найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, мы можем воспользоваться формулой площади ромба. Поскольку abcd - ромб, площадь его сечения будет равна:

\(S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\)

где d1 и d2 - длины диагоналей ромба.

Мы уже знаем, что d1 = ac = 10. Для нахождения d2, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника abd:

\(ab^2 = ad^2 + bd^2\)

По условию, ab = bd = 8. Подставляем значения:

\(8^2 = 4^2 + bd^2\)

\(64 = 16 + bd^2\)

\(bd^2 = 64 - 16 = 48\)

\(bd = \sqrt{48}\)

\(bd = 4\sqrt{3}\)

Таким образом, площадь сечения параллелепипеда плоскостью α будет равна:

\(S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{10 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\) квадратных единиц.