Докажите, что плоскости MNK и BCD параллельны, если M и N являются серединами ребер AB и AC, а K является серединой

Milashka

43

Чтобы доказать, что плоскости MNK и BCD параллельны, мы должны показать, что их нормали коллинеарны. Давайте воспользуемся информацией о серединах ребер и свойствах параллелограмма.

Известно, что точка M является серединой ребра AB, а точка N является серединой ребра AC. Таким образом, вектор MN будет являться половиной вектора BC.

Поскольку K является серединой ребра AD, то вектор DK будет параллелен вектору AB и будет иметь такую же длину. Теперь мы можем заметить, что векторравен полусумме векторов BC и DK.

Таким образом, вектор DK можно представить следующим образом:

\[\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{MN} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\]

Поскольку MN является половиной BC, то

\[\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\]

Подставив это в предыдущее уравнение, получим:

\[\overrightarrow{DK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC}\]

Таким образом, мы видим, что вектор DK является равным вектору BC. Зная, что вектор DK параллелен вектору AB, мы можем заключить, что плоскость MNK и плоскость BCD параллельны, так как их нормали коллинеарны.

Таким образом, мы доказали, что плоскости MNK и BCD параллельны, используя свойства середин ребер тетраэдра и свойства векторов.