Докажите, что последовательность увеличивается: an=13n/n+1. ответ: 1. Отметьте неравенство, верное для возрастающей

Сон

16

Для доказательства увеличения последовательности \(a_n = \frac{13n}{n+1}\), мы будем использовать математическую индукцию.

1. Шаг базы индукции:
Для \(n = 1\) мы имеем \(a_1 = \frac{13}{2}\) и \(a_2 = \frac{26}{3}\). Подставив значения в выражение, мы видим, что \(a_1 > a_2\), следовательно, базовый шаг индукции выполняется.

2. Предположение индукции:
Предположим, что для некоторого положительного целого числа \(k\) выполняется \(a_k > a_{k+1}\).

3. Шаг индукции:
Докажем, что \(a_{k+1} > a_{k+2}\). Имеем:
\[a_{k+1} = \frac{13(k+1)}{k+2},\]
\[a_{k+2} = \frac{13(k+2)}{k+3}.\]
Используя предположение индукции, заметим, что \(a_k > a_{k+1}\) можно переписать как:
\[\frac{13k}{k+1} > \frac{13(k+1)}{k+2}.\]

Теперь приведем выражение к общему знаменателю:
\[\frac{13k \cdot (k+2)}{(k+1) \cdot (k+2)} > \frac{13(k+1) \cdot (k+2)}{(k+1) \cdot (k+2)}.\]
Упростим:
\[13k \cdot (k+2) > 13(k+1) \cdot (k+2).\]
Раскроем скобки и сократим:
\[13k^2+26k > 13k^2 + 39k + 26.\]
Сокращаем \(13k^2\):
\[26k > 39k + 26.\]
Перенесем все члены в одну сторону:
\[0 > 13k + 26.\]
Теперь делим на положительное число 13 (неравенство сохраняет знак):
\[0 > k + 2.\]
А это неравенство верно, так как \(k\) - положительное число.

Итак, мы доказали, что если последовательность увеличивается для \(n = k\), то она также увеличивается для \(n = k+1\). Следовательно, данная последовательность является возрастающей.

Мы успешно доказали, что последовательность \(a_n = \frac{13n}{n+1}\) является возрастающей для всех положительных целых чисел \(n\).