Докажите, что при всех допустимых значениях аргумента производная заданной функции принимает положительные значения
Докажите, что при всех допустимых значениях аргумента производная заданной функции принимает положительные значения: y = 14x^3 + 7x. В процессе доказательства ответьте на следующие вопросы о производной заданной функции: y" = ( ) x ( ) + ( ). 2. Выберите одно выражение, чтобы показать, что производная заданной функции принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента: 1) так как 14x^3 + 7x ≥ 0, то и 42x^2 + 7 > 0, x ∈ R 2) так как 14x^3 ≥ 0, то и 42x^2 + 7 > 0 3) так как 7x ≥ 0, то и 42x^2 + 7 > 0 4) так как x^2 ≥ 0, то и x^2 > -7/42, x ∈ R. 3. Укажите несколько формул, которые использовались при вычислении производной.
Ярослава 70
Для доказательства того, что при всех допустимых значениях аргумента \(x\) производная функции \(y = 14x^3 + 7x\) принимает положительные значения, мы должны проанализировать знак выражения для второй производной функции и показать, что оно всегда положительно.1. Вычислим первую производную функции \(y\) по аргументу \(x\):
\[y" = \frac{d}{dx}(14x^3 + 7x)\]
Для вычисления производной по правилу степенной функции используем формулу \(d/dx(x^n) = nx^{n-1}\). Применяя это правило, получаем:
\[y" = 42x^2 + 7\]
2. Теперь найдем вторую производную функции \(y\) по аргументу \(x\):
\[y"" = \frac{d}{dx}(42x^2 + 7)\]
Снова применяя правило для степенной функции, получаем:
\[y"" = 84x\]
3. Проверим, при каких значениях аргумента \(x\) выражение \(y"" = 84x\) положительно. Для этого рассмотрим знак \(84x\) при различных значениях \(x\).
- Если \(x > 0\), то \(84x\) будет положительным.
- Если \(x < 0\), то \(84x\) будет отрицательным.
Таким образом, мы видим, что \(y"" = 84x\) принимает положительные значения при всех положительных значениях \(x\), которые входят в допустимый диапазон аргумента функции.
4. Затем мы можем использовать полученную информацию о знаке второй производной, чтобы доказать, что первая производная \(y" = 42x^2 + 7\) всегда положительна.
Известно, что для функции функция \(y\) возрастает, если ее производная \(y" > 0\), и убывает, если \(y" < 0\). Также мы знаем, что критические точки, где первая производная равна нулю, могут быть точками экстремума.
Рассмотрим уравнение \(42x^2 + 7 > 0\) и определим, при каких значениях \(x\) оно будет выполняться:
1) Так как \(14x^3 + 7x \geq 0\) при всех \(x\), то и \(42x^2 + 7 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\).
Таким образом, мы доказали, что при всех допустимых значениях аргумента \(x\), первая производная функции \(y = 14x^3 + 7x\) принимает положительные значения.
Данный довод основан на знаке второй производной функции \(y"" = 84x\), которая для всех положительных значений \(x\) принимает положительные значения, и на том факте, что самая первая производная \(y" = 42x^2 + 7\) всегда положительна.