В упаковку поместили семь карандашей и пять ручек. Случайным образом было извлечено три предмета. Какова вероятность

Horek

43

Давайте решим задачу.

a) Требуется найти вероятность того, что все три извлеченных предмета окажутся карандашами.

У нас есть 7 карандашей и 5 ручек в упаковке. Общее число предметов в упаковке равно 7 + 5 = 12. Всего мы должны извлечь 3 предмета из упаковки.

Чтобы найти вероятность события, нужно разделить число благоприятных исходов на общее число возможных исходов.

Число благоприятных исходов: так как все три извлеченных предмета должны быть карандашами, у нас есть только 7 карандашей в упаковке. Таким образом, число благоприятных исходов равно количеству способов выбрать 3 карандаша из 7. Обозначим это число как C.

\(C = C_{7}^{3}\), где \(C_{7}^{3}\) обозначает число сочетаний из 7 по 3.

Используя формулу для числа сочетаний, получим:

\(C = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!}\)

\(C = \frac{7!}{3! \cdot 4!}\)

\(C = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!}\)

\(C = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}\)

\(C = 35\)

Общее число возможных исходов: мы должны извлечь 3 предмета из упаковки, где всего 12 предметов.

Таким образом, число возможных исходов равно количеству способов выбрать 3 предмета из 12. Обозначим это число как N.

\(N = C_{12}^{3}\), где \(C_{12}^{3}\) обозначает число сочетаний из 12 по 3.

Используя формулу для числа сочетаний, получим:

\(N = \frac{12!}{3! \cdot (12-3)!}\)

\(N = \frac{12!}{3! \cdot 9!}\)

\(N = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9!}\)

\(N = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1}\)

\(N = 220\)

Теперь можем найти вероятность события а), разделив число благоприятных исходов на общее число возможных исходов:

\(P(a) = \frac{C}{N}\)

\(P(a) = \frac{35}{220}\)

\(P(a) = \frac{1}{6}\)

Таким образом, вероятность того, что все три извлеченных предмета окажутся карандашами, составляет \(\frac{1}{6}\).

b) Проведем аналогичные вычисления для события б), когда все три извлеченных предмета окажутся ручками.

Число благоприятных исходов: так как все три извлеченных предмета должны быть ручками, у нас есть только 5 ручек в упаковке. Таким образом, число благоприятных исходов равно количеству способов выбрать 3 ручки из 5. Обозначим это число как C.

\(C = C_{5}^{3}\)

Используя формулу для числа сочетаний, получим:

\(C = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!}\)

\(C = \frac{5!}{3! \cdot 2!}\)

\(C = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1}\)

\(C = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1}\)

\(C = 10\)

Общее число возможных исходов: мы должны извлечь 3 предмета из упаковки, где всего 12 предметов. Таким образом, число возможных исходов равно количеству способов выбрать 3 предмета из 12. Обозначим это число как N.

\(N = C_{12}^{3}\)

Используя формулу для числа сочетаний, получим:

\(N = \frac{12!}{3! \cdot (12-3)!}\)

\(N = \frac{12!}{3! \cdot 9!}\)

\(N = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9!}\)

\(N = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1}\)

\(N = 220\)

Теперь можем найти вероятность события б), разделив число благоприятных исходов на общее число возможных исходов:

\(P(b) = \frac{C}{N}\)

\(P(b) = \frac{10}{220}\)

\(P(b) = \frac{1}{22}\)

Таким образом, вероятность того, что все три извлеченные предмета окажутся ручками, составляет \(\frac{1}{22}\).