Докажите, что разность длин отрезков, на которые высота, опущенная на основание треугольника, делит его, равна длине

Skvoz_Vremya_I_Prostranstvo

63

Конечно! Давайте докажем данное утверждение.

Пусть у нас есть треугольник ABC, где точка H - основание перпендикулярной высоты, опущенной из вершины В на сторону AC. Мы должны доказать, что разность длин отрезков AH и CH равна длине одной из сторон треугольника ABC.

Для начала, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник BAH, где BA - гипотенуза, BH - катет, и AH - высота. По теореме Пифагора, мы знаем, что квадрат гипотенузы (BA) равен сумме квадратов катетов (BH и HA):

\[BA^2 = BH^2 + AH^2 \quad (1)\]

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник BCH, где BC - гипотенуза, BH - катет и CH - высота. И снова, по теореме Пифагора, мы можем записать:

\[BC^2 = BH^2 + CH^2 \quad (2)\]

Теперь, чтобы доказать утверждение, нам нужно показать, что разность длин AH и CH равна длине одной из сторон треугольника ABC.

Для этого вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

\[BA^2 - BC^2 = (BH^2 + AH^2) - (BH^2 + CH^2)\]

Раскроем скобки:

\[BA^2 - BC^2 = AH^2 - CH^2\]

Мы знаем, что по свойству равенства и сложения, разности и частичного произведения, данная разность может быть переписана следующим образом:

\[(BA + BC)(BA - BC) = AH^2 - CH^2 \quad (3)\]

Теперь давайте рассмотрим еще одно наблюдение. Треугольник ABC - это прямоугольный треугольник, и мы знаем из геометрии, что гипотенуза всегда больше каждого из катетов. В нашем случае, BA - гипотенуза, а BC - катет. Значит, мы можем сказать, что BA > BC.

Теперь вернемся к уравнению (3). Мы видим, что левая часть, (BA + BC)(BA - BC), представляет собой произведение двух чисел: разности BA и BC, и их суммы. Мы знаем, что разность BA и BC больше нуля, так как BA > BC. Значит, левая часть уравнения (3) положительна.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения (3), AH^2 - CH^2. Мы помним, что AH - высота треугольника, а CH - высота, опущенная из вершины C на сторону AB. Высоты треугольника должны быть положительными, так как они являются длинами отрезков. Значит, правая часть уравнения (3) также положительна.

Мы пришли к выводу, что левая и правая части уравнения (3) являются положительными. Из этого следует, что уравнение (3) выполняется только тогда, когда обе части равны нулю. То есть:

\[AH^2 - CH^2 = 0\]

Поскольку это разность квадратов, мы можем записать:

\[(AH - CH)(AH + CH) = 0\]

Теперь мы знаем, что произведение двух чисел равно нулю только тогда, когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю.

Мы можем рассмотреть два случая:

1. Если \(AH - CH = 0\), то это означает, что разность длин AH и CH равна нулю, то есть AH = CH, что соответствует длине одной из сторон треугольника.

2. Если \(AH + CH = 0\), то это означает, что сумма длин AH и CH равна нулю, что невозможно, так как длины отрезков должны быть положительными.

Таким образом, мы доказали, что разность длин отрезков, на которые высота, опущенная на основание треугольника, делит его, равна длине одной из сторон треугольника.