Докажите, что сумма 1000^2 + 1000^2 * 1001^2 + 1001^2 является квадратом некоторого натурального числа

Strekoza

19

Хорошо, давайте решим данную задачу.

Итак, нам нужно доказать, что число \(1000^2 + 1000^2 \cdot 1001^2 + 1001^2\) является квадратом некоторого натурального числа.

Для начала, вынесем общий множитель \(1000^2\) из первых двух слагаемых:

\(1000^2 + 1000^2 \cdot 1001^2 + 1001^2 = 1000^2 \cdot (1 + 1001^2) + 1001^2\)

Теперь мы можем заметить, что у нас есть два слагаемых, которые содержат квадраты чисел: \(1000^2\) и \(1001^2\). Введем новую переменную, пусть \(x = 1000\), тогда наше выражение можно переписать следующим образом:

\(x^2 \cdot (1 + (x + 1)^2) + (x + 1)^2\)

Теперь давайте проведем раскрытие скобок во втором множителе:

\(x^2 \cdot (1 + (x^2 + 2x + 1)) + (x + 1)^2\)

\(x^2 \cdot (1 + x^2 + 2x + 1) + (x + 1)^2\)

\(x^2 \cdot (2 + x^2 + 2x) + (x + 1)^2\)

Для удобства, давайте перенесем последнее слагаемое в первое:

\(x^2 \cdot (2 + x^2 + 2x + (x + 1)^2)\)

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух чисел и упростим данное выражение:

\(x^2 \cdot ((x + 1) + 1)^2\)

Теперь мы получили выражение вида \(a^2\), где \(a = x \cdot (x + 2)\). Таким образом, мы доказали, что выражение \(1000^2 + 1000^2 \cdot 1001^2 + 1001^2\) является квадратом некоторого натурального числа.

Давайте еще раз соберем все шаги решения вместе:

1. Заменяем \(1000\) на переменную \(x\).
2. Выносим общий множитель \(x^2\) из первых двух слагаемых.
3. Раскрываем скобки и упрощаем выражение.
4. Добавляем последнее слагаемое к первому.
5. Применяем формулу квадрата суммы двух чисел.
6. Получаем выражение вида \(a^2\), где \(a = x \cdot (x + 2)\).

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение является квадратом некоторого натурального числа.