Сколько натуральных x, y, z существует, таких что НОД(x;y;z)=735? (Запишите только число!

Magicheskiy_Troll

11

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать факторизацию числа 735. Разложим число 735 на простые множители:

\[ 735 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7. \]

Теперь давайте рассмотрим все возможные варианты разбиений числа 735 на три множителя, где каждый множитель может быть любым простым числом, возведенным в некоторую степень.

Возможные степени множителей равны \(0, 1, 2\), так как нам нужны натуральные числа.

1. Если множители равны \(3^0, 5^0, 7^0\), то получим один вариант: \(1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\).

2. Если множители равны \(3^0, 5^0, 7^1\), то получим один вариант: \(1 \cdot 1 \cdot 7 = 7\).

3. Если множители равны \(3^0, 5^1, 7^0\), то получим один вариант: \(1 \cdot 5 \cdot 1 = 5\).

4. Если множители равны \(3^0, 5^1, 7^1\), то получим один вариант: \(1 \cdot 5 \cdot 7 = 35\).

5. Если множители равны \(3^1, 5^0, 7^0\), то получим один вариант: \(3 \cdot 1 \cdot 1 = 3\).

6. Если множители равны \(3^1, 5^0, 7^1\), то получим один вариант: \(3 \cdot 1 \cdot 7 = 21\).

7. Если множители равны \(3^1, 5^1, 7^0\), то получим один вариант: \(3 \cdot 5 \cdot 1 = 15\).

8. Если множители равны \(3^1, 5^1, 7^1\), то получим один вариант: \(3 \cdot 5 \cdot 7 = 105\).

Таким образом, всего существует 8 натуральных чисел \(x, y, z\), для которых НОД равен 735.