Докажите, что точка M принадлежит диагонали квадрата ABCD, если в квадрате ABCD взяли точку M такую, что BM

Светлячок

53

Чтобы доказать, что точка M принадлежит диагонали квадрата ABCD, мы должны показать, что M лежит на обеих диагоналях квадрата, которые соединяют противоположные вершины. Для этого разберемся с геометрией квадрата.

Квадрат ABCD - это четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, и все углы прямые. Мы можем представить квадрат ABCD в виде координатной системы, где каждая вершина имеет свои координаты. Для простоты предположим, что вершина A имеет координаты (0, 0), а сторона квадрата имеет длину 1 единица.

Теперь рассмотрим точку M, которая находится на стороне BC квадрата ABCD. Пусть координаты точки B будут (0, 1), а координаты точки C будут (1, 1). Таким образом, координаты точки M будут (x, 1), где x - любое число от 0 до 1.

Чтобы показать, что M лежит на диагонали AC, нам нужно проверить, выполняется ли следующее условие: расстояние от точки M до точки A равно расстоянию от точки M до точки C.

Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) в двумерной системе координат можно выразить с помощью формулы расстояния между точками:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Применяя эту формулу к точкам A (0, 0) и M (x, 1), получим:

\[d_{AM} = \sqrt{{(x - 0)^2 + (1 - 0)^2}} = \sqrt{{x^2 + 1}}\]

Аналогичным образом, расстояние от точки M до точки C (1, 1) будет:

\[d_{CM} = \sqrt{{(1 - x)^2 + (1 - 1)^2}} = \sqrt{{(1 - x)^2}} = 1 - x\]

Теперь расстояние от точки M до точки A равно расстоянию от точки M до точки C:

\[\sqrt{{x^2 + 1}} = 1 - x\]

Чтобы решить это уравнение, возводим обе части уравнения в квадрат:

\[x^2 + 1 = (1 - x)^2\]

Раскрываем скобки:

\[x^2 + 1 = 1 - 2x + x^2\]

Убираем одинаковые слагаемые \(x^2\) с обеих сторон уравнения:

\[1 = -2x\]

Разделяем обе части уравнения на -2:

\[x = -\frac{1}{2}\]

Таким образом, мы получили, что \(x = -\frac{1}{2}\), что означает, что координаты точки M равны \(\left(-\frac{1}{2}, 1\right)\).

Теперь нам остается проверить, лежит ли точка M также на диагонали BD квадрата.

Вершины B (0, 1) и D (1, 0), а координаты точки M (-1/2, 1).

Используя формулу расстояния между точками, мы можем найти расстояния от точки M до точек B и D:

\[d_{BM} = \sqrt{{(x - 0)^2 + (1 - 1)^2}} = \sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\right)^2}} = \frac{1}{2}\]

\[d_{DM} = \sqrt{{(1 - (-\frac{1}{2}))^2 + (0 - 1)^2}} = \sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + (-1)^2}} = \sqrt{{\frac{9}{4} + 1}} = \sqrt{{\frac{13}{4}}}\]

Теперь проверим, выполняется ли условие равенства расстояний: \(d_{BM} = d_{DM}\). Оказывается, что это условие не выполняется:

\(\frac{1}{2} \neq \sqrt{{\frac{13}{4}}}\)

Таким образом, точка M не лежит на диагонали BD квадрата ABCD.

Итак, мы доказали, что точка M принадлежит диагонали AC, но не принадлежит диагонали BD квадрата ABCD.