Докажите, что векторы m=3a-4c, n=2a+b-3c, k=a+2b-2c лежат в одной плоскости. Определите отношение между этими

Vladimirovich

70

Для доказательства того, что векторы \(m = 3a - 4c\), \(n = 2a + b - 3c\) и \(k = a + 2b - 2c\) лежат в одной плоскости, мы можем воспользоваться двумя методами: аналитическим и геометрическим.

1. Метод аналитического доказательства:

Для начала, предлагаю найти косинусные углы между парами векторов и сравнить их. Если все три угла равны 90 градусов или их косинусы равны нулю, то это будет означать, что векторы лежат в одной плоскости.

Выражения для косинусных углов между векторами можно выразить с помощью их скалярного произведения. Воспользуемся этим:

Угол между векторами \(m\) и \(n\):
\[
\cos(\theta_{mn}) = \frac{{m \cdot n}}{{\|m\| \cdot \|n\|}}
\]

Угол между векторами \(m\) и \(k\):
\[
\cos(\theta_{mk}) = \frac{{m \cdot k}}{{\|m\| \cdot \|k\|}}
\]

Угол между векторами \(n\) и \(k\):
\[
\cos(\theta_{nk}) = \frac{{n \cdot k}}{{\|n\| \cdot \|k\|}}
\]

Также, чтобы убедиться, что векторы лежат в одной плоскости, должно выполняться условие коллинеарности, т.е. эти векторы должны быть линейно зависимыми.

2. Метод геометрического доказательства:

Мы можем воспользоваться геометрическими методами для доказательства того, что векторы лежат в одной плоскости. Для этого проверим, что все три вектора лежат в плоскости, проходящей через одну прямую.

Можно также найти нормальный вектор этой плоскости, используя векторное произведение:
\[
\text{{Нормальный вектор}} = (n - m) \times (k - m)
\]

Если нормальный вектор равен нулевому вектору, то это будет означать, что все три вектора лежат в одной плоскости.

Теперь, давайте приступим к решению этой задачи, используя аналитический метод:

1. Вычислим косинусные углы между векторами:
\[
\cos(\theta_{mn}) = \frac{{(3a - 4c) \cdot (2a + b - 3c)}}{{\|3a - 4c\| \cdot \|2a + b - 3c\|}}
\]

\[
\cos(\theta_{mk}) = \frac{{(3a - 4c) \cdot (a + 2b - 2c)}}{{\|3a - 4c\| \cdot \|a + 2b - 2c\|}}
\]

\[
\cos(\theta_{nk}) = \frac{{(2a + b - 3c) \cdot (a + 2b - 2c)}}{{\|2a + b - 3c\| \cdot \|a + 2b - 2c\|}}
\]

2. Вычислим значения косинусов и сравним их с нулевым значением. Если они все равны нулю, то векторы лежат в одной плоскости.

Теперь приступим к решению задачи с использованием геометрического метода:

1. Вычислим нормальный вектор:

\[
\text{{Нормальный вектор}} = [(2a + b - 3c) - (3a - 4c)] \times [(a + 2b - 2c) - (3a - 4c)]
\]

2. Проверим равенство нормального вектора нулевому вектору. Если они равны, то векторы лежат в одной плоскости.

Таким образом, чтобы доказать, что векторы \(m = 3a - 4c\), \(n = 2a + b - 3c\) и \(k = a + 2b - 2c\) лежат в одной плоскости, мы можем использовать аналитический метод, вычисляя косинусные углы между парами векторов, и геометрический метод, проверяя нормальный вектор.