Докажите, что векторы m=3a-4c, n=2a+b-3c, k=a+2b-2c лежат в одной плоскости. Определите отношение между этими

Vladimirovich

70

Для доказательства того, что векторы $m=3a-4c$, $n=2a+b-3c$ и $k=a+2b-2c$ лежат в одной плоскости, мы можем воспользоваться двумя методами: аналитическим и геометрическим.

1. Метод аналитического доказательства:

Для начала, предлагаю найти косинусные углы между парами векторов и сравнить их. Если все три угла равны 90 градусов или их косинусы равны нулю, то это будет означать, что векторы лежат в одной плоскости.

Выражения для косинусных углов между векторами можно выразить с помощью их скалярного произведения. Воспользуемся этим:

Угол между векторами $m$ и $n$:
$$\cos ({\theta }_{mn})=\frac{m\cdot n}{\Vert m\Vert \cdot \Vert n\Vert }$$

Угол между векторами $m$ и $k$:
$$\cos ({\theta }_{mk})=\frac{m\cdot k}{\Vert m\Vert \cdot \Vert k\Vert }$$

Угол между векторами $n$ и $k$:
$$\cos ({\theta }_{nk})=\frac{n\cdot k}{\Vert n\Vert \cdot \Vert k\Vert }$$

Также, чтобы убедиться, что векторы лежат в одной плоскости, должно выполняться условие коллинеарности, т.е. эти векторы должны быть линейно зависимыми.

2. Метод геометрического доказательства:

Мы можем воспользоваться геометрическими методами для доказательства того, что векторы лежат в одной плоскости. Для этого проверим, что все три вектора лежат в плоскости, проходящей через одну прямую.

Можно также найти нормальный вектор этой плоскости, используя векторное произведение:
$$\text{{Нормальный вектор}}=(n-m)\times (k-m)$$

Если нормальный вектор равен нулевому вектору, то это будет означать, что все три вектора лежат в одной плоскости.

Теперь, давайте приступим к решению этой задачи, используя аналитический метод:

1. Вычислим косинусные углы между векторами:
$$\cos ({\theta }_{mn})=\frac{(3a-4c)\cdot (2a+b-3c)}{\Vert 3a-4c\Vert \cdot \Vert 2a+b-3c\Vert }$$

$$\cos ({\theta }_{mk})=\frac{(3a-4c)\cdot (a+2b-2c)}{\Vert 3a-4c\Vert \cdot \Vert a+2b-2c\Vert }$$

$$\cos ({\theta }_{nk})=\frac{(2a+b-3c)\cdot (a+2b-2c)}{\Vert 2a+b-3c\Vert \cdot \Vert a+2b-2c\Vert }$$

2. Вычислим значения косинусов и сравним их с нулевым значением. Если они все равны нулю, то векторы лежат в одной плоскости.

Теперь приступим к решению задачи с использованием геометрического метода:

1. Вычислим нормальный вектор:

$$\text{{Нормальный вектор}}=[(2a+b-3c)-(3a-4c)]\times [(a+2b-2c)-(3a-4c)]$$

2. Проверим равенство нормального вектора нулевому вектору. Если они равны, то векторы лежат в одной плоскости.

Таким образом, чтобы доказать, что векторы $m=3a-4c$, $n=2a+b-3c$ и $k=a+2b-2c$ лежат в одной плоскости, мы можем использовать аналитический метод, вычисляя косинусные углы между парами векторов, и геометрический метод, проверяя нормальный вектор.