Докажите, что векторы m = а + b - c, h = 2a - b + c и p = 8a - b + с лежат в одной плоскости

Смурфик

57

Для доказательства того, что векторы \(m = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}\), \(h = 2\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}\) и \(p = 8\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}\) лежат в одной плоскости, мы можем воспользоваться двумя подходами: аналитическим и геометрическим.

Аналитический подход:
Для того чтобы показать, что векторы лежат в одной плоскости, мы можем воспользоваться свойством коллинеарности векторов. Векторы \(\mathbf{m}\), \(\mathbf{h}\) и \(\mathbf{p}\) будут коллинеарными, если существуют такие числа \(k_1\), \(k_2\) и \(k_3\), что выполнено следующее соотношение \(\mathbf{m} = k_1 \mathbf{h} + k_2 \mathbf{p}\).

Давайте найдем значения этих коэффициентов \(k_1\), \(k_2\) и \(k_3\). Подставим выражения для векторов \(\mathbf{m}\), \(\mathbf{h}\) и \(\mathbf{p}\):

\[
\begin{align*}
\mathbf{m} &= \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c} \\
\mathbf{h} &= 2\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} \\
\mathbf{p} &= 8\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}
\end{align*}
\]

Подставим эти выражения в уравнение \(k_1 \mathbf{h} + k_2 \mathbf{p} = \mathbf{m}\) и решим получившуюся систему уравнений:

\[
\begin{align*}
k_1(2\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}) + k_2(8\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}) &= \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c} \\
(2k_1 + 8k_2)\mathbf{a} + (-k_1 - k_2)\mathbf{b} + (k_1 + k_2)\mathbf{c} &= \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}
\end{align*}
\]

Теперь приравняем координаты векторов с обеих сторон этого уравнения:

\[
\begin{align*}
2k_1 + 8k_2 &= 1 \tag{1} \\
-k_1 - k_2 &= 1 \tag{2} \\
k_1 + k_2 &= -1 \tag{3}
\end{align*}
\]

Решим эту систему уравнений для нахождения значений \(k_1\) и \(k_2\). Проще всего это сделать, вычтя уравнение (3) из уравнений (1) и (2). Получим:

\[
\begin{align*}
10k_2 &= 2 \implies k_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \\
-2k_1 &= -2 \implies k_1 = 1
\end{align*}
\]

Таким образом, мы нашли значения \(k_1 = 1\) и \(k_2 = \frac{1}{5}\), которые удовлетворяют нашей системе уравнений. Это означает, что векторы \(\mathbf{m}\), \(\mathbf{h}\) и \(\mathbf{p}\) коллинеарны, а следовательно, лежат в одной плоскости.

Геометрический подход:
Мы можем использовать геометрическое представление векторов для доказательства их коллинеарности и принадлежности одной плоскости.

Представьте векторы \(\mathbf{m}\), \(\mathbf{h}\) и \(\mathbf{p}\) в виде отрезков, соединяющих начало координат с точками, представленными этими векторами. При этом векторы \(\mathbf{m}\), \(\mathbf{h}\) и \(\mathbf{p}\) будут лежать в одной плоскости, если все три отрезка будут проходить через одну общую плоскость или если эти отрезки будут параллельны.

На основе нашего геометрического представления, чтобы доказать, что векторы \(\mathbf{m}\), \(\mathbf{h}\) и \(\mathbf{p}\) лежат в одной плоскости, нам нужно проверить, что векторное произведение любых двух из этих векторов равно нулю.

Проверим это:

\(\mathbf{m} \times \mathbf{h} \):
\(\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} \)

Вычислим определитель этой матрицы:

\(\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \cdot \mathbf{i} -
\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \cdot \mathbf{j} +
\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \cdot \mathbf{k} = 0 \cdot \mathbf{i} - 3 \cdot \mathbf{j} - 3 \cdot \mathbf{k} = \mathbf{-3j - 3k} \)

\(\mathbf{m} \times \mathbf{p} \):
\(\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 8 & -1 & 1 \end{vmatrix} \)

Вычислим определитель этой матрицы:

\(\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \cdot \mathbf{i} -
\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} \cdot \mathbf{j} +
\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 8 & -1 \end{vmatrix} \cdot \mathbf{k} = 0 \cdot \mathbf{i} - 9 \cdot \mathbf{j} - 9 \cdot \mathbf{k} = \mathbf{-9j - 9k} \)

\(\mathbf{h} \times \mathbf{p} \):
\(\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 8 & -1 & 1 \end{vmatrix} \)

Вычислим определитель этой матрицы:

\(\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \cdot \mathbf{i} -
\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} \cdot \mathbf{j} +
\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 8 & -1 \end{vmatrix} \cdot \mathbf{k} = 0 \cdot \mathbf{i} + 6 \cdot \mathbf{j} - 6 \cdot \mathbf{k} = \mathbf{6j - 6k} \)

Из полученных векторных произведений видно, что мы получили ненулевые векторы \(-3\mathbf{j} - 3\mathbf{k}\), \(-9\mathbf{j} - 9\mathbf{k}\) и \(6\mathbf{j} - 6\mathbf{k}\). Это значит, что векторы \(\mathbf{m}\), \(\mathbf{h}\) и \(\mathbf{p}\) не лежат в одной плоскости, иначе полученные векторные произведения были бы равны нулю.

Итак, геометрический подход не подтверждает, что данные векторы лежат в одной плоскости.

Вывод: Аналитический подход подтверждает, что векторы \(m = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}\), \(h = 2\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}\) и \(p = 8\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}\) лежат в одной плоскости, в то время как геометрический подход не подтверждает это.