Докажите, что выражение, полученное путем возведения в квадрат суммы (11n+4) и последующего вычитания 49, всегда
Докажите, что выражение, полученное путем возведения в квадрат суммы (11n+4) и последующего вычитания 49, всегда делится на 11 при любых натуральных значениях n.
Chaynik 65
Для начала, рассмотрим выражение \((11n+4)^2 - 49\) и проверим, делится оно на 11 или нет. Мы можем упростить это выражение, раскрыв скобки и упростив каждое слагаемое отдельно.Начнем с раскрытия скобок:
\((11n+4)^2 - 49 = (11n+4)(11n+4) - 49\)
Мы можем раскрыть скобки, используя формулу разности квадратов:
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
Применяя эту формулу, получим:
\((11n+4)(11n+4) - 49 = (11n)^2 + 2 \cdot 11n \cdot 4 + 4^2 - 49\)
Далее упростим каждое слагаемое отдельно:
\((11n)^2 + 2 \cdot 11n \cdot 4 + 4^2 - 49 = 121n^2 + 88n + 16 - 49\)
Теперь, объединяем все числовые слагаемые и упрощаем:
\(121n^2 + 88n + 16 - 49 = 121n^2 + 88n - 33\)
Итак, получили исходное выражение: \(121n^2 + 88n - 33\). Теперь проверим, делится ли оно на 11.
Чтобы узнать, делится ли выражение на 11, мы можем вычислить остаток от деления этого выражения на 11. Если остаток будет равен нулю, то выражение делится на 11 без остатка.
Таким образом, мы должны разделить \(121n^2 + 88n - 33\) на 11 и проверить остаток.
\[
\begin{align*}
(121n^2 + 88n - 33) \mod 11 & = 0 \\
\end{align*}
\]
Мы можем записать выражение в виде суммы остатков:
\[
\begin{align*}
(121n^2 + 88n - 33) \mod 11 & = (121n^2 \mod 11 + 88n \mod 11 - 33 \mod 11) \mod 11 \\
\end{align*}
\]
Распределим модули по каждому слагаемому:
\[
\begin{align*}
(121n^2 \mod 11 + 88n \mod 11 - 33 \mod 11) \mod 11 & = ((121 \mod 11)n^2 + (88 \mod 11)n - (33 \mod 11)) \mod 11 \\
\end{align*}
\]
Вычисляем модули:
\[
\begin{align*}
(121 \mod 11)n^2 + (88 \mod 11)n - (33 \mod 11) & = 0n^2 + 0n - 0 \\
& = 0 \\
\end{align*}
\]
Итак, остаток равен нулю.
Значит, выражение \(121n^2 + 88n - 33\) делится на 11 при любых натуральных значениях переменной \(n\).