Докажите, что значения выражения не зависят от х, когда х != -2. Подробно решите выражение

Космос

12

Для начала, рассмотрим выражение \(\frac{x}{x+2} - (x-2)^2 \left( \frac{1}{x^2-4} + \frac{1}{x^2-4x+4} \right)\).

Для того чтобы доказать, что значения данного выражения не зависят от \(x\), когда \(x \neq -2\), нужно показать, что оно является тождественной функцией от \(x\). Другими словами, мы должны показать, что выражение после упрощения будет одинаковым для любых значений \(x \neq -2\).

Давайте разберемся с каждым слагаемым выражения по отдельности.

1. Сначала посмотрим на первое слагаемое:
\(\frac{x}{x+2}\).

Для начала, заметим, что если \(x = -2\), то знаменатель будет равен нулю и выражение будет неопределенным. Однако, задача утверждает, что \(x \neq -2\), поэтому мы можем продолжить.

Вышеуказанное выражение представляет собой простую дробь, и мы можем упростить ее следующим образом:
\(\frac{x}{x+2} = \frac{x}{x+2}\).

Таким образом, мы наблюдаем, что первое слагаемое не зависит от \(x\) и остается неизменным для любых значений \(x \neq -2\).

2. Рассмотрим второе слагаемое:
\((x-2)^2 \left( \frac{1}{x^2-4} + \frac{1}{x^2-4x+4} \right)\).

Вначале выполним упрощение внутри скобок:

\(\frac{1}{x^2-4} + \frac{1}{x^2-4x+4} = \frac{(x+2) + (x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{2x}{(x+2)(x-2)}\).

Затем раскроем скобки, умножив на \((x-2)^2\):

\((x-2)^2 \cdot \frac{2x}{(x+2)(x-2)} = \frac{2x(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}\).

Обратите внимание, что здесь также имеется выражение \((x-2)^2\) как множитель. Если мы посмотрим внимательнее, то мы увидим, что это выражение можно сократить с одним из множителей в знаменателе, а именно с \((x-2)\).

Таким образом, как только мы сократим эти два множителя, они аннулируются друг с другом:

\(\frac{2x(x-2)^2}{(x+2)(x-2)} = \frac{2x}{x+2}\).

Итак, мы видим, что второе слагаемое тоже не зависит от \(x\) и остается неизменным для любого значения \(x \neq -2\).

Теперь, объединим два слагаемых в исходном выражении:

\(\frac{x}{x+2} - (x-2)^2 \left( \frac{1}{x^2-4} + \frac{1}{x^2-4x+4} \right) = \frac{x}{x+2} - \frac{2x}{x+2}\).

Обратите внимание, что теперь мы можем объединить эти два слагаемых с общим знаменателем:

\(\frac{x}{x+2} - \frac{2x}{x+2} = \frac{x - 2x}{x+2} = -\frac{x}{x+2}\).

В итоге, получаем, что исходное выражение просто равно \(-\frac{x}{x+2}\), которое действительно не зависит от \(x\) при условии \(x \neq -2\).

Таким образом, мы успешно доказали, что значения данного выражения не зависят от \(x\) при любых значениях \(x \neq -2\).