Яку ймовірність того, що серед 11 навмання вибраних книг будуть 6 книг з математики, 3 книги з фізики та 2 книги

Zhemchug_1117

54

Ця задача відноситься до комбінаторики і може бути розв"язана за допомогою формули ймовірностей.

Загальна кількість способів вибрати 11 книг з полиці, де є 10 книг з математики, 8 книг з фізики та 5 книг з біології, можна обчислити за допомогою формули комбінацій:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

де \(n\) - загальна кількість книг на полиці, \(k\) - кількість книг, які потрібно вибрати.

У нашому випадку:

\(n_{\text{математика}} = 10\) - кількість книг з математики на полиці,
\(n_{\text{фізика}} = 8\) - кількість книг з фізики на полиці,
\(n_{\text{біологія}} = 5\) - кількість книг з біології на полиці,
\(k_{\text{математика}} = 6\) - кількість книг з математики, які потрібно вибрати,
\(k_{\text{фізика}} = 3\) - кількість книг з фізики, які потрібно вибрати,
\(k_{\text{біологія}} = 2\) - кількість книг з біології, які потрібно вибрати.

Тому загальна кількість способів вибрати 11 книг, заданих у завданні, дорівнює:

\[
C(10,6) \cdot C(8,3) \cdot C(5,2) = \frac{{10!}}{{6! \cdot (10-6)!}} \cdot \frac{{8!}}{{3! \cdot (8-3)!}} \cdot \frac{{5!}}{{2! \cdot (5-2)!}}
\]

Давайте обчислимо цю вираз:

\[
\frac{{10!}}{{6! \cdot (10-6)!}} = \frac{{10!}}{{6! \cdot 4!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 210
\]

\[
\frac{{8!}}{{3! \cdot (8-3)!}} = \frac{{8!}}{{3! \cdot 5!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 56
\]

\[
\frac{{5!}}{{2! \cdot (5-2)!}} = \frac{{5!}}{{2! \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10
\]

Таким чином, загальна кількість способів вибрати 11 книг заданого складу дорівнює:

\[
210 \cdot 56 \cdot 10 = 117600
\]

Тепер, якщо ми знаємо загальну кількість способів вибрати 11 книг і загальну кількість книг на полиці, тобто \(n = 23\), то ймовірність того, що серед 11 навмання вибраних книг будуть 6 книг з математики, 3 книги з фізики та 2 книги з біології, можна обчислити за формулою:

\[
P = \frac{{\text{{Кількість сприятливих випадків}}}}{{\text{{Загальна кількість випадків}}}}
\]

тому

\[
P = \frac{{117600}}{{C(23,11)}} = \frac{{117600}}{{\frac{{23!}}{{11! \cdot (23-11)!}}}}
\]

Давайте обчислимо:

\[
C(23,11) = \frac{{23!}}{{11! \cdot (23-11)!}} = \frac{{23!}}{{11! \cdot 12!}} = \frac{{12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \ldots \cdot 22 \cdot 23}}{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 11 \cdot 12}}
\]

В цьому виразі багато множників зводяться, і наш вираз зменшується до:

\[
C(23,11) = \frac{{13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20 \cdot 21 \cdot 22 \cdot 23}}{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}}
\]

Тепер можемо обчислити ймовірність:

\[
P = \frac{{117600}}{{C(23,11)}} = \frac{{117600}}{{\frac{{13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20 \cdot 21 \cdot 22 \cdot 23}}{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}}}}
\]

Обчислимо знаменник:

\[
13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20 \cdot 21 \cdot 22 \cdot 23 = 199,307,540,200
\]

\[
1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 = 479,001,600
\]

Тепер можемо обчислити ймовірність:

\[
P = \frac{{117,600}}{{\frac{{199,307,540,200}}{{479,001,600}}}} \approx 0.033
\]

Отже, ймовірність того, що серед 11 навмання вибраних книг будуть 6 книг з математики, 3 книги з фізики та 2 книги з біології, становить близько 0,033. Будь ласка, зверніть увагу, що значення ймовірності наведено округлене.