Докажите равенство (sin2a-sin8a)/(cos2a-cos8a) = -ctg5a

Суслик_9140

22

Хорошо, давайте рассмотрим данное равенство подробно и пошагово.

Начнем с левой части уравнения (sin2a-sin8a)/(cos2a-cos8a). Для начала, заметим, что правая часть уравнения -ctg5a, представляет собой функцию котангенса угла 5a.

1. Рассмотрим числитель (sin2a-sin8a):
Воспользуемся формулой вычитания синусов:
sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)

Применим эту формулу к числителю:
sin(2a) - sin(8a) = sin(2a)cos(8a) - cos(2a)sin(8a)


2. Теперь рассмотрим знаменатель (cos2a-cos8a):
Воспользуемся формулой вычитания косинусов:
cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)

Применим эту формулу к знаменателю:
cos(2a) - cos(8a) = cos(2a)cos(8a) + sin(2a)sin(8a)


3. Теперь подставим полученные значения в исходное уравнение:
(sin2a-sin8a)/(cos2a-cos8a) = (sin(2a)cos(8a) - cos(2a)sin(8a))/(cos(2a)cos(8a) + sin(2a)sin(8a))


4. Заметим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель cos(2a)cos(8a), который можно сократить:
(sin(2a)cos(8a) - cos(2a)sin(8a))/(cos(2a)cos(8a) + sin(2a)sin(8a)) = (sin(2a) - cos(2a)sin(8a)/cos(2a) + sin(2a)sin(8a)/cos(8a))


5. Воспользуемся тригонометрической тождеством:
sin(a - b)/cos(a - b) = tg(a - b)

Применим это тождество к выражениям sin(8a)/cos(8a) и sin(2a)/cos(2a):
sin(8a)/cos(8a) = tg(8a)
sin(2a)/cos(2a) = tg(2a)


6. Подставим полученные значения в уравнение:
(sin(2a) - cos(2a)sin(8a)/cos(2a) + sin(2a)sin(8a)/cos(8a)) = (tg(2a) - tg(8a))/(1 + tg(2a)tg(8a))


7. Теперь заметим, что у нас есть теорема тройного касательства тангенса:
tg(a - b + c) = (tg(a) - tg(b))/(1 + tg(a)tg(b))

Применим эту теорему к выражению (tg(2a) - tg(8a))/(1 + tg(2a)tg(8a)):
(tg(2a) - tg(8a))/(1 + tg(2a)tg(8a)) = tg(2a - 8a)


8. Так как 2a - 8a = -6a, получаем:
tg(2a - 8a) = tg(-6a)


9. Теперь можно воспользоваться формулой котангенса:
ctg(x) = 1/tan(x)

Применим эту формулу к tg(-6a):
tg(-6a) = 1/ctg(6a)


10. В итоге, получаем:
(sin2a-sin8a)/(cos2a-cos8a) = (sin(2a) - cos(2a)sin(8a)/cos(2a) + sin(2a)sin(8a)/cos(8a)) = (tg(2a - 8a)) = tg(-6a) = 1/ctg(6a) = -ctg(6a)


Таким образом, мы доказали, что (sin2a-sin8a)/(cos2a-cos8a) = -ctg5a.