Доведіть, що ва=ас, якщо пряма, що проходить через точку а, дотикається кола з центром о в точці а, і на дотичній

Весенний_Ветер

27

Давайте рассмотрим данную задачу подробнее. Мы имеем круг с центром в точке O и прямую, проходящую через точку A, которая касается этого круга. Пусть на касательной к кругу, находящейся по разные стороны от точки A, обозначены точки B и C.

Теперь мы хотим доказать, что OA = OB + OC.

Давайте посмотрим на треугольник ОАВ. В этом треугольнике мы имеем стороны ОВ и ОА, которые являются радиусами круга, и угол ВОА, который равен 90 градусов, так как прямая AB является касательной к кругу.

Используя теорему Пифагора для треугольника ОАВ, мы можем записать:

\[ОА^2 = ОВ^2 + АВ^2\]

Теперь рассмотрим треугольник ОАС. В этом треугольнике у нас есть стороны ОС и ОА, которые также являются радиусами круга, и угол СОА, который также равен 90 градусов, так как прямая AC является касательной к кругу.

Применяя теорему Пифагора для треугольника ОАС, мы получаем:

\[ОА^2 = ОС^2 + АС^2\]

Теперь сравним два равенства, которые мы получили:

\[ОВ^2 + АВ^2 = ОС^2 + АС^2\]

Теперь давайте преобразуем это равенство:

\[ОВ^2 - ОС^2 = АС^2 - АВ^2\]

Поскольку ОВ = ОС (радиусы равны), мы можем сократить эти части:

\[ОВ^2 - ОС^2 = (АС - АВ)(АС + АВ)\]

Теперь мы видим, что наше уравнение принимает вид:

\[0 = (АС - АВ)(АС + АВ)\]

Поскольку \((АС - АВ)(АС + АВ)\) является произведением двух чисел, и это равно нулю, это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

Таким образом, мы получаем два случая:

1. Если \(АС - АВ = 0\), то это означает, что АС = АВ. Это означает, что точка С совпадает с точкой В, и оба отрезка АС и АВ имеют одну и ту же длину. Тогда можно сказать, что ОА = ОВ + ОС, так как ОВ (и ОС) будет равно длине отрезка АС (или АВ).

2. Если \(АС + АВ = 0\), то это означает, что сумма АС и АВ равна нулю, что невозможно, поскольку оба отрезка АС и АВ имеют положительные длины. Такой случай невозможен.

Итак, в результате доказано, что ОА = ОВ + ОС.