Два единичных вектора м¯ и n¯ образуют угол 120°. Найдите: а) угол между диагоналями параллелограмма, построенного

Анатолий

61

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание о свойствах векторов и тригонометрии. Давайте проведем все шаги по порядку.

а) По условию задачи, угол между векторами \(\overline{m}\) и \(\overline{n}\) составляет 120 градусов. Чтобы найти угол между диагоналями параллелограмма, нам нужно найти угол \(\theta\) между векторами \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\).

\(\overline{a} = -2\overline{m} + \overline{n}\)

\(\overline{b} = \overline{m} + 2\overline{n}\)

Для начала, найдем значения векторов \(\overline{m}\) и \(\overline{n}\). Поскольку они являются единичными векторами, их длины равны 1.

Теперь мы можем найти значения векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\), заменив значения \(\overline{m}\) и \(\overline{n}\):

\(\overline{a} = -2\overline{m} + \overline{n} = -2(1)\overline{m} + (1)\overline{n} = -2\overline{m} + \overline{n}\)

\(\overline{b} = \overline{m} + 2\overline{n} = (1)\overline{m} + 2(1)\overline{n} = \overline{m} + 2\overline{n}\)

Теперь у нас есть значения векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\):

\(\overline{a} = -2\overline{m} + \overline{n}\) и \(\overline{b} = \overline{m} + 2\overline{n}\).

Для нахождения угла \(\theta\), используем формулу скалярного произведения векторов:

\(\cos\theta = \frac{{\overline{a} \cdot \overline{b}}}{{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|}}\)

где \(\overline{a} \cdot \overline{b}\) - это скалярное произведение векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\), а \(|\overline{a}|\) и \(|\overline{b}|\) - длины векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\).

Вычислим значения скалярного произведения и длин векторов:

\(\overline{a} \cdot \overline{b} = (-2\overline{m} + \overline{n}) \cdot (\overline{m} + 2\overline{n})\)

\(= -2\overline{m} \cdot \overline{m} + 2\overline{m} \cdot 2\overline{n} + \overline{n} \cdot \overline{m} + \overline{n} \cdot 2\overline{n}\)

\(= -2(1)(1) + 2(1)(2) + (1)(1) + (1)(2)\)

\(= -2 + 4 + 1 + 2\)

\(= 5\)

\(|\overline{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\)

\(|\overline{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)

Подставим значения в формулу:

\(\cos\theta = \frac{{\overline{a} \cdot \overline{b}}}{{|\overline{a}| \cdot |\overline{b}|}}\)

\(\cos\theta = \frac{{5}}{{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}}\)

\(\cos\theta = \frac{{5}}{{5}}\)

\(\cos\theta = 1\)

Теперь, чтобы найти значение угла \(\theta\), нам нужно найти обратный косинус (арккосинус) от 1:

\(\theta = \arccos{1}\)

Поскольку \(\arccos{1} = 0\), угол \(\theta\) между диагоналями параллелограмма равен 0.

Ответ: а) Угол между диагоналями параллелограмма равен 0.

б) Чтобы найти проекцию вектора \(\overline{b}\) на направление вектора \(\overline{a}\), мы можем использовать формулу проекции вектора на другой вектор:

\(\text{проекция} = \frac{{\overline{a} \cdot \overline{b}}}{{|\overline{a}|}}\)

Подставим значения в формулу:

\(\text{проекция} = \frac{{\overline{a} \cdot \overline{b}}}{{|\overline{a}|}}\)

\(\text{проекция} = \frac{{(-2\overline{m} + \overline{n}) \cdot (\overline{m} + 2\overline{n})}}{{\sqrt{5}}}\)

\(\text{проекция} = \frac{{-2\overline{m} \cdot \overline{m} + 2\overline{m} \cdot 2\overline{n} + \overline{n} \cdot \overline{m} + \overline{n} \cdot 2\overline{n}}}{\sqrt{5}}\)

\(\text{проекция} = \frac{{-2(1)(1) + 2(1)(2) + (1)(1) + (1)(2)}}{\sqrt{5}}\)

\(\text{проекция} = \frac{{-2 + 4 + 1 + 2}}{\sqrt{5}}\)

\(\text{проекция} = \frac{{5}}{\sqrt{5}}\)

\(\text{проекция} = \sqrt{5}\)

Ответ: б) Проекция вектора \(\overline{b}\) на направление вектора \(\overline{a}\) равна \(\sqrt{5}\).

Таким образом, ответ на задачу:

а) Угол между диагоналями параллелограмма равен 0.

б) Проекция вектора \(\overline{b}\) на направление вектора \(\overline{a}\) равна \(\sqrt{5}\).