Два реки впадают в озеро. Катер отправляется из пристани А, расположенной на первой реке, и плывет 24 км до озера

Paporotnik

45

Давайте разберем эту задачу пошагово.

Обозначим скорость катера \( v \) (в километрах в час), скорость течения первой реки \( x \) (в километрах в час), и скорость течения второй реки \( y \) (в километрах в час).

Из условия задачи, мы знаем, что катер плывет 24 км по реке и 2 часа по озеру, а затем преодолевает 32 км по второй реке. Весь путь занимает 8 часов. Это можно записать следующим образом:

\[
\frac{{24}}{{v - x}} + 2 + \frac{{32}}{{v + y}} = 8
\]

Чтобы найти скорость течения каждой реки, нам необходимо составить еще одно уравнение.

Из условия задачи также известно, что если бы катер проплыл еще 18 км по озеру, то весь путь от А до В занял бы 10 часов:

\[
\frac{{24}}{{v - x}} + 2 + \frac{{50}}{{v + y}} = 10
\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (скорость течения первой реки \( x \) и скорость течения второй реки \( y \)), которые мы можем решить.

Выразим \( y \) через \( x \) в первом уравнении:

\[
y = x - 2
\]

Подставим это во второе уравнение:

\[
\frac{{24}}{{v - x}} + 2 + \frac{{50}}{{v + (x - 2)}} = 10
\]

Решим это уравнение:

\[
\frac{{24}}{{v - x}} + \frac{{50}}{{v + x - 2}} = 8
\]

Перемножим оба члена уравнения на \((v - x)(v + x - 2)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
24(v + x - 2) + 50(v - x) = 8(v - x)(v + x - 2)
\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[
24v + 24x - 48 + 50v - 50x = 8(v^2 - x^2 - 2v + 2x)
\]

Упростим:

\[
74v - 26x - 48 = 8v^2 - 8x^2 - 16v + 16x
\]

Перепишем это уравнение в канонической форме:

\[
8x^2 - 90x + 8v^2 - 90v + 16x + 16v + 48 = 0
\]

Соберем все члены в одну сторону уравнения:

\[
8x^2 - 74x + 8v^2 - 74v + 48 = 0
\]

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя метод дискриминанта.

Дискриминант \( D \) этого уравнения равен:

\[
D = (-74)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (8v^2 - 74v + 48)
\]

Раскроем скобки:

\[
D = 5476 - 256v^2 + 2368v - 1536
\]

Упростим выражение:

\[
D = -256v^2 + 2368v + 3940
\]

Теперь мы можем найти корни уравнения:

\[
x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}
\]

где \( a \), \( b \) и \( c \) - коэффициенты квадратного уравнения. В нашем случае,

\[
a = 8, \quad b = -74, \quad c = 3940
\]

Подставим значения в формулу:

\[
x_{1,2} = \frac{{-(-74) \pm \sqrt{-256v^2 + 2368v + 3940}}}{{2 \cdot 8}}
\]

Упростим выражение:

\[
x_{1,2} = \frac{{74 \pm \sqrt{-256v^2 + 2368v + 3940}}}{{16}}
\]

Таким образом, получаем два значения \( x_1 \) и \( x_2 \) для скорости течения первой реки.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти скорость течения каждой реки в данной задаче.