Эквивалентное выражение (sin3x - sinx)/cos3x больше или равно нулю

Милашка

3

Для решения этой задачи, представим, что \(y = \frac{{\sin(3x) - \sin(x)}}{{\cos(3x)}}\). Мы хотим найти условия, при которых это выражение больше или равно нулю.

Для начала, разложим \(\sin(3x)\) и \(\cos(3x)\) по формулам тройного аргумента:

\[\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)\]

\[\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)\]

Подставим эти значения в исходное выражение:

\[y = \frac{{3\sin(x) - 4\sin^3(x) - \sin(x)}}{{4\cos^3(x) - 3\cos(x)}}\]

Упростим числитель:

\[y = \frac{{2\sin(x)(2 - 3\sin^2(x))}}{{4\cos^3(x) - 3\cos(x)}}\]

Теперь упростим знаменатель:

\[y = \frac{{2\sin(x)(2 - 3\sin^2(x))}}{{\cos(x)(4\cos^2(x) - 3)}}\]

Так как \(\cos(x)\) не может быть равно нулю, исключим этот случай и разделим числитель и знаменатель на \(\cos(x)\):

\[y = \frac{{2\sin(x)(2 - 3\sin^2(x))}}{{\cos(x)(4\cos^2(x) - 3)}} = \frac{{2\sin(x)(2 - 3\sin^2(x))}}{{4\cos^2(x) - 3}}\]

Мы получили новое выражение, где не используется деление. Теперь заметим, что \(\cos^2(x)\) всегда неотрицательное число, а \(\sin(x)\) вещественное число. Поэтому у нас есть два случая:

1) Если \(\cos^2(x) > \frac{3}{4}\), то знаменатель положителен. В этом случае чтобы выражение \(y\) было больше или равно нулю, необходимо чтобы \(\sin(x)\) был больше или равен нулю:

\(\cos^2(x) > \frac{3}{4}\) и \(\sin(x) \geq 0\)

2) Если \(\cos^2(x) < \frac{3}{4}\), то знаменатель отрицателен. В этом случае чтобы выражение \(y\) было больше или равно нулю, необходимо чтобы \(\sin(x)\) был меньше или равен нулю:

\(\cos^2(x) < \frac{3}{4}\) и \(\sin(x) \leq 0\)

Таким образом, эквивалентное выражение \(\frac{{\sin(3x) - \sin(x)}}{{\cos(3x)}}\) больше или равно нулю, когда выполняется одно из условий:

1) \(\cos^2(x) > \frac{3}{4}\) и \(\sin(x) \geq 0\)

2) \(\cos^2(x) < \frac{3}{4}\) и \(\sin(x) \leq 0\)

Это подробное решение позволяет понять, какие значения переменной \(x\) удовлетворяют условию, при которых исходное выражение больше или равно нулю.