Какое значение имеет первообразная функции f(x)=6 cos 3x-12 sin 6x в точке x=pi/6?

Звездный_Лис

1

Для нахождения значения первообразной функции \(f(x) = 6\cos(3x) - 12\sin(6x)\) в точке \(x = \frac{\pi}{6}\), мы можем использовать определение первообразной функции и выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем первообразную функции \(f(x)\) путем интегрирования каждого слагаемого по отдельности. Для интегрирования косинуса мы получаем:

\[
\int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3} \sin(3x) + C_1
\]

где \(C_1\) - произвольная постоянная.

Далее, интегрируем синус:

\[
\int -12\sin(6x) \, dx = -2\cos(6x) + C_2
\]

где \(C_2\) - еще одна произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции \(f(x)\) будет:

\[
F(x) = \frac{1}{3} \sin(3x) - 2\cos(6x) + C
\]

где \(C = C_1 + C_2\) - общая постоянная.

Шаг 2: Теперь найдем значение первообразной функции \(F(x)\) в точке \(x = \frac{\pi}{6}\) с помощью подстановки. Подставим \(x = \frac{\pi}{6}\) в \(F(x)\):

\[
F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{3} \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - 2\cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + C
\]

Упростим эту формулу, зная, что \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) и \(\cos(0) = 1\):

\[
F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{3} \cdot 1 - 2 \cdot 1 + C = \frac{1}{3} - 2 + C = -\frac{5}{3} + C
\]

Таким образом, значение первообразной функции \(f(x) = 6\cos(3x) - 12\sin(6x)\) в точке \(x = \frac{\pi}{6}\) будет \(-\frac{5}{3} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная. Если значение \(C\) вам известно, вы сможете найти конкретное численное значение первообразной функции в данной точке.