Эквивалентны ли следующие уравнения: 2х^2-9х-5=0 и х∙(6х-13)=14х+15?

Basya

10

Чтобы определить, эквивалентны ли данные уравнения, мы можем решить их и проверить, совпадают ли полученные значения переменной \(x\). Начнем с первого уравнения:

\[2x^2 - 9x - 5 = 0\]

Сначала нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Сравним коэффициенты уравнения с общей формулой:

\(a = 2\), \(b = -9\), \(c = -5\)

Подставляя значения в формулу, получим:

\[x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2}\]

Выполняя вычисления, получим:

\[x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4}\]
\[x = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{4}\]
\[x = \frac{9 \pm 11}{4}\]

Для полной ясности, рассмотрим два случая:

1) Когда \(\displaystyle x=\frac{9+11}{4}\)

\[x = \frac{20}{4} = 5\]

2) Когда \(\displaystyle x=\frac{9-11}{4}\)

\[x = \frac{-2}{4}=-0.5\]

Итак, первое уравнение имеет два корня: \(x = 5\) и \(x = -0.5\). А теперь давайте решим второе уравнение:

\[x \cdot (6x - 13) = 14x + 15\]

Распределим произведение в скобках:

\[6x^2 - 13x = 14x + 15\]

Теперь сгруппируем все члены с переменной \(x\) на одной стороне, а константы на другой:

\[6x^2 - 13x - 14x - 15 = 0\]
\[6x^2 - 27x - 15 = 0\]

Мы получили второе квадратное уравнение. Решим его, используя формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Сравнивая коэффициенты уравнения с общей формулой, получим:

\(a = 6\), \(b = -27\), \(c = -15\)

Подставим значения в формулу:

\[x = \frac{-(-27) \pm \sqrt{(-27)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-15)}}{2 \cdot 6}\]

После выполнения вычислений:

\[x = \frac{27 \pm \sqrt{729 + 360}}{12}\]
\[x = \frac{27 \pm \sqrt{1089}}{12}\]
\[x = \frac{27 \pm 33}{12}\]

Теперь снова рассмотрим два случая:

1) Когда \(\displaystyle x=\frac{27+33}{12}\)

\[x = \frac{60}{12} = 5\]

2) Когда \(\displaystyle x=\frac{27-33}{12}\)

\[x = \frac{-6}{12}=-0.5\]

Итак, второе уравнение также имеет два корня: \(x = 5\) и \(x = -0.5\).

Поскольку оба уравнения имеют одни и те же значения для переменной \(x\) (5 и -0.5), мы можем заключить, что уравнения эквивалентны. Решение обоих уравнений дают нам одинаковые значения для переменной \(x\), вследствие чего оба уравнения представляют собой альтернативную запись одного и того же математического выражения.