Эквивалентны ли следующие уравнения: 2х^2-9х-5=0 и х∙(6х-13)=14х+15?

Basya

10

Чтобы определить, эквивалентны ли данные уравнения, мы можем решить их и проверить, совпадают ли полученные значения переменной $x$. Начнем с первого уравнения:

$$2x^2-9x-5=0$$

Сначала нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Сравним коэффициенты уравнения с общей формулой:

$a=2$, $b=-9$, $c=-5$

Подставляя значения в формулу, получим:

$$x=\frac{-(-9)\pm \sqrt{(-9{)}^2-4\cdot 2\cdot (-5)}}{2\cdot 2}$$

Выполняя вычисления, получим:

$$x=\frac{9\pm \sqrt{81+40}}{4}$$
$$x=\frac{9\pm \sqrt{121}}{4}$$
$$x=\frac{9\pm 11}{4}$$

Для полной ясности, рассмотрим два случая:

1) Когда ${\displaystyle x=\frac{9+11}{4}}$

$$x=\frac{20}{4}=5$$

2) Когда ${\displaystyle x=\frac{9-11}{4}}$

$$x=\frac{-2}{4}=-0.5$$

Итак, первое уравнение имеет два корня: $x=5$ и $x=-0.5$. А теперь давайте решим второе уравнение:

$$x\cdot (6x-13)=14x+15$$

Распределим произведение в скобках:

$$6x^2-13x=14x+15$$

Теперь сгруппируем все члены с переменной $x$ на одной стороне, а константы на другой:

$$6x^2-13x-14x-15=0$$
$$6x^2-27x-15=0$$

Мы получили второе квадратное уравнение. Решим его, используя формулу:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Сравнивая коэффициенты уравнения с общей формулой, получим:

$a=6$, $b=-27$, $c=-15$

Подставим значения в формулу:

$$x=\frac{-(-27)\pm \sqrt{(-27{)}^2-4\cdot 6\cdot (-15)}}{2\cdot 6}$$

После выполнения вычислений:

$$x=\frac{27\pm \sqrt{729+360}}{12}$$
$$x=\frac{27\pm \sqrt{1089}}{12}$$
$$x=\frac{27\pm 33}{12}$$

Теперь снова рассмотрим два случая:

1) Когда ${\displaystyle x=\frac{27+33}{12}}$

$$x=\frac{60}{12}=5$$

2) Когда ${\displaystyle x=\frac{27-33}{12}}$

$$x=\frac{-6}{12}=-0.5$$

Итак, второе уравнение также имеет два корня: $x=5$ и $x=-0.5$.

Поскольку оба уравнения имеют одни и те же значения для переменной $x$ (5 и -0.5), мы можем заключить, что уравнения эквивалентны. Решение обоих уравнений дают нам одинаковые значения для переменной $x$, вследствие чего оба уравнения представляют собой альтернативную запись одного и того же математического выражения.