Если а> 0,b> 0, то покажите, что (9+1/а)(25+1/b)(1+4ab

Anatoliy_6729

46

Давайте посмотрим на данное выражение и решим его пошагово для лучшего понимания.

У нас дано выражение: \((9+\frac{1}{a})(25+\frac{1}{b})(1+4ab)\). Нам нужно показать, что оно верно при условии \(a > 0\) и \(b > 0\).

Шаг 1:
Раскроем первые две скобки \((9+\frac{1}{a})(25+\frac{1}{b})\):

\((9+\frac{1}{a})(25+\frac{1}{b}) = (9 \cdot 25) + (9 \cdot \frac{1}{b}) + (\frac{1}{a} \cdot 25) + (\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b})\)

Раскроем скобки и упростим:

\(225 + \frac{9}{b} + \frac{25}{a} + \frac{1}{ab}\)

Шаг 2:
Умножим полученное выражение на третью скобку \((1+4ab)\):

\((225 + \frac{9}{b} + \frac{25}{a} + \frac{1}{ab})(1+4ab)\)

Раскроем скобки:

\(225(1+4ab) + \frac{9}{b}(1+4ab) + \frac{25}{a}(1+4ab) + \frac{1}{ab}(1+4ab)\)

Произведение двух положительных чисел \(a\) и \(b\) даст положительный результат, поэтому можем с уверенностью сказать, что \(ab > 0\).

Шаг 3:
Упростим полученное выражение подставив \(ab > 0\):

\(225(1+4ab) + \frac{9}{b}(1+4ab) + \frac{25}{a}(1+4ab) + \frac{1}{ab}(1+4ab)\)
\(= 225 + 900ab + \frac{9}{b} + \frac{36}{b} + \frac{25}{a} + \frac{100}{a} + 1 + 4\)

Шаг 4:
Упростим полученное выражение дальше:

\(225 + 900ab + \frac{9}{b} + \frac{36}{b} + \frac{25}{a} + \frac{100}{a} + 1 + 4\)
\(= 230 + 900ab + \frac{45}{b} + \frac{125}{a}\)

Шаг 5:
Теперь давайте посмотрим на исходное выражение:
\((9+\frac{1}{a})(25+\frac{1}{b})(1+4ab)\)

Мы получили выражение \(230 + 900ab + \frac{45}{b} + \frac{125}{a}\), которое очевидно равно исходному выражению. Таким образом, мы показали, что если \(a > 0\) и \(b > 0\), то выражение \((9+\frac{1}{a})(25+\frac{1}{b})(1+4ab)\) и \(230 + 900ab + \frac{45}{b} + \frac{125}{a}\) равны друг другу.