1. Михаил получил посетителей: Александр, Алексей, Петр, Николай, Аркадий. Какое количество кусков торта может выбрать

Мороженое_Вампир

4

всего 12 игроков? 4. В парке расположены 6 скамеек. Сколькими способами можно выбрать 3 скамейки для отдыха? 5. В магазине есть 8 видов шоколадных плиток. Сколькими способами можно выбрать 4 плитки разных видов?

1. (a) Поскольку Михаил уже выбрал один кусок торта, у каждого из оставшихся четырех детей остается 4 куска торта на выбор. Таким образом, каждый ребенок может выбрать 4 куска торта.

(b) Если Аркадий всегда выбирает кусок рядом с куском Александра, то у оставшихся трех детей также остается 4 куска торта на выбор (поскольку Александр выбрал один кусок, и рядом с ним остается 3 доступных куска). Значит, каждый из этих детей может выбрать 4 куска торта.

2. Для выбора трех дежурных из 16 возможных будем использовать комбинаторику. Количество вариантов выбора можно определить по формуле сочетания:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Где n - общее количество элементов (16 в данном случае), а k - количество выбираемых элементов (3 в данной задаче). Подставим значения в формулу:

\[\binom{16}{3} = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3!13!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 560\]

Таким образом, возможно 560 вариантов выбора трех дежурных.

3. Для распределения золотой, серебряной и бронзовой медалей между 12 игроками в теннисе, воспользуемся принципами комбинаторики.

Количество способов распределения медалей можно определить по формуле размещения без повторений:

\[A(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}\]

Где n - общее количество элементов (12 в данном случае), а k - количество выбираемых элементов (3 в данной задаче - золото, серебро и бронза). Подставим значения в формулу:

\[A(12,3) = \frac{12!}{(12-3)!} = \frac{12!}{9!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1,320\]

Таким образом, есть 1,320 способов распределения золотой, серебряной и бронзовой медалей Олимпийских игр по теннису.

4. Для выбора 3 скамеек для отдыха из 6 возможных будем использовать комбинаторику. Количество вариантов выбора можно определить по формуле сочетания:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Где n - общее количество элементов (6 в данном случае), а k - количество выбираемых элементов (3 в данной задаче). Подставим значения в формулу:

\[\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\]

Таким образом, можно выбрать 20 способов выбора 3 скамеек для отдыха.

5. Для выбора 4 шоколадных плиток разных видов из 8 возможных будем использовать комбинаторику. Количество вариантов выбора можно определить по формуле сочетания:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Где n - общее количество элементов (8 в данном случае), а k - количество выбираемых элементов (4 в данной задаче). Подставим значения в формулу:

\[\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70\]

Таким образом, можно выбрать 70 способов выбора 4 плиток разных видов.