Если AB равно 2 см, BC равно 8 см, CD равно 16 см и угол C составляет 30 °, то что будет площадь трапеции ABCD?

Amina

12

Для решения данной задачи будем использовать формулу площади трапеции. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

где \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, \(h\) - высота трапеции.

Нам даны значения сторон и угла трапеции, поэтому сначала нужно определить длины оснований и высоту.

Угол C составляет 30°, а сторона CD равна 16 см. Обозначим точку E, такую, что AE и CD являются высотами трапеции.

Для нахождения высоты трапеции нам нужно разделить сторону CD на значение тангенс угла C:

\[h = CD \cdot \tan(C)\]

Таким образом, высота трапеции равна:

\[h = 16 \cdot \tan(30°)\]

Вычислим значение тангенса 30°:

\[\tan(30°) = \frac{{\sin(30°)}}{{\cos(30°)}}\]

По таблице тригонометрических значений можно определить, что \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\) и \(\cos(30°) = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\). Подставим эти значения:

\[\tan(30°) = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt{3}}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{3}}\]

Таким образом, высота трапеции равна:

\[h = 16 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{3}}\]

Далее, чтобы найти длины оснований, нам понадобится знание, что в неравнобедренной трапеции, основания связаны со сторонами параллельными ими. То есть, справедливо: AB || CD и BC || AD. Из данной информации следует, что AB = CD и BC = AD.

Тогда длины оснований трапеции будут:

\[a = AB = CD = 2 \text{ см}\]
\[b = BC = AD = 8 \text{ см}\]

Теперь мы знаем все необходимые значения для вычисления площади трапеции.

Подставим известные значения в формулу площади трапеции:

\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

\[S = \frac{{2 + 8}}{2} \cdot (16 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{3}})\]

\[S = 5 \cdot \frac{{16 \cdot \sqrt{3}}}{{3}}\]

\[S = \frac{{5 \cdot 16 \cdot \sqrt{3}}}{{3}}\]

Далее мы можем упростить выражение, получив:

\[S = \frac{{80 \cdot \sqrt{3}}}{{3}}\]

Таким образом, площадь трапеции ABCD составляет \(\frac{{80 \cdot \sqrt{3}}}{{3}}\) квадратных сантиметров.