Решите, пожалуйста, следующую задачу: 1. Найдите площадь боковой поверхности, полной поверхности и объем прямого

Зимний_Мечтатель

43

Задача 1:
Для решения этой задачи нам потребуется формула для нахождения площади боковой поверхности параллелепипеда:

\[S_b = 2(h \cdot (a + b))\]

где \(S_b\) - площадь боковой поверхности,
\(h\) - высота параллелепипеда,
\(a\) и \(b\) - стороны основания.

Также, для нахождения площади полной поверхности параллелепипеда, мы можем использовать формулу:

\[S_p = 2(h \cdot (a + b) + a \cdot b)\]

где \(S_p\) - площадь полной поверхности.

Для нахождения объема параллелепипеда мы будем использовать формулу:

\[V = a \cdot b \cdot h\]

Теперь решим задачу:

По условию задачи, стороны основания параллелепипеда равны 3 см и 4 см. Угол между ними составляет 45 градусов, а меньшая диагональ равна 9 см.

Для начала, найдем высоту параллелепипеда. Обозначим ее как \(h\).

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами 3 см, 4 см и диагональю 9 см, мы можем выразить высоту через стороны основания и диагональ:

\[h = \sqrt{9^2 - 3^2 - 4^2} = \sqrt{81 - 9 - 16} = \sqrt{56} \approx 7.48 \, \text{см}\]

Теперь, подставим значения в формулы:

\[S_b = 2 \cdot (7.48 \, \text{см} \cdot (3 \, \text{см} + 4 \, \text{см})) = 2 \cdot (7.48 \, \text{см} \cdot 7 \, \text{см}) \approx 104.72 \, \text{см}^2\]

\[S_p = 2 \cdot (7.48 \, \text{см} \cdot (3 \, \text{см} + 4 \, \text{см}) + 3 \, \text{см} \cdot 4 \, \text{см}) = 2 \cdot (7.48 \, \text{см} \cdot 7 \, \text{см} + 12 \, \text{см}^2) \approx 129.44 \, \text{см}^2\]

\[V = 3 \, \text{см} \cdot 4 \, \text{см} \cdot 7.48 \, \text{см} \approx 89.76 \, \text{см}^3\]

Итак, площадь боковой поверхности параллелепипеда составляет около 104.72 квадратных сантиметра, площадь полной поверхности - около 129.44 квадратных сантиметра, а объем равен примерно 89.76 кубических сантиметров.

Задача 2:
Аналогично первой задаче, для нахождения площади боковой поверхности и полной поверхности прямоугольного параллелепипеда мы можем использовать те же формулы:

\[S_b = 2(h \cdot (a + b)), \, S_p = 2(h \cdot (a + b) + a \cdot b)\]

где \(S_b\) - площадь боковой поверхности, \(S_p\) - площадь полной поверхности, \(h\) - высота параллелепипеда, \(a\) и \(b\) - стороны основания.

Для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда используется формула:

\[V = a \cdot b \cdot h\]

Теперь решим задачу:

Из условия задачи, боковое ребро параллелепипеда равно 5 см, а одна из сторон основания равна 6 см. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания составляет 60 градусов.

Найдем высоту параллелепипеда, обозначим ее как \(h\).

Используя теорему косинусов для прямоугольного треугольника со сторонами 5 см, 6 см и углом 60 градусов, мы можем выразить высоту через стороны основания и угол:

\[h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{6}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, \text{см}\]

Теперь, подставим значения в формулы:

\[S_b = 2 \cdot (4 \, \text{см} \cdot (5 \, \text{см} + 6 \, \text{см})) = 2 \cdot (4 \, \text{см} \cdot 11 \, \text{см}) = 88 \, \text{см}^2\]

\[S_p = 2 \cdot (4 \, \text{см} \cdot (5 \, \text{см} + 6 \, \text{см}) + 5 \, \text{см} \cdot 6 \, \text{см}) = 2 \cdot (4 \, \text{см} \cdot 11 \, \text{см} + 30 \, \text{см}^2) = 176 \, \text{см}^2\]

\[V = 5 \, \text{см} \cdot 6 \, \text{см} \cdot 4 \, \text{см} = 120 \, \text{см}^3\]

Итак, площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда составляет 88 квадратных сантиметров, площадь полной поверхности - 176 квадратных сантиметров, а объем равен 120 кубическим сантиметрам.