Если диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна 10, а одна из сторон основания равна 8, то какова площадь

Petrovich

13

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Для начала, давайте определим, что такое поверхность прямоугольного параллелепипеда. Поверхность параллелепипеда состоит из шести прямоугольников, которые являются гранями параллелепипеда.

Дано, что диагональ основания параллелепипеда равна 10 и одна из сторон основания равна 8. Давайте обозначим эту сторону \( a \). Так как это прямоугольный параллелепипед, то диагональ основания является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного сторонами основания параллелепипеда. Тогда другая сторона основания будет являться одним из катетов этого треугольника. Давайте обозначим эту сторону как \( b \).

Мы знаем, что диагональ основания равна 10, поэтому мы можем воспользоваться теоремой Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \), где \( c \) - гипотенуза, \( a \) и \( b \) - катеты. В данной задаче гипотенузой является диагональ основания, которая равна 10, а одна из сторон основания равна 8. Подставим эти значения в формулу и найдем вторую сторону основания:

\[ 10^2 = 8^2 + b^2 \]
\[ 100 = 64 + b^2 \]
\[ b^2 = 100 - 64 \]
\[ b^2 = 36 \]
\[ b = \sqrt{36} \]
\[ b = 6 \]

Теперь у нас есть значения сторон основания параллелепипеда: одна сторона равна 8, а другая сторона равна 6.

Чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда, нам нужно сложить площади всех шести граней. Площадь каждой грани можно найти, умножив длину и ширину грани. Поскольку у нас есть прямоугольный параллелепипед, то каждая грань будет прямоугольником.

Площадь верхней и нижней граней будет равна произведению сторон основания: \( S_{верхней/нижней} = a \cdot b = 8 \cdot 6 = 48 \).

Площадь боковых граней будет равна произведению периметра стороны основания на высоту параллелепипеда. Так как у нас есть четыре боковые грани, то площадь всех боковых граней будет равна: \( S_{боковых} = 4 \cdot a \cdot L \), где \( a \) - сторона основания, \( L \) - боковая сторона. Нам нужно найти значение боковой стороны, чтобы найти это значение. Для этого мы можем воспользоваться формулой теоремы Пифагора снова, так как боковая сторона, сторона основания и диагональ основания образуют прямоугольный треугольник. Подставим уже известные значения в формулу:

\[ c^2 = a^2 + L^2 \]
\[ 10^2 = 8^2 + L^2 \]
\[ 100 = 64 + L^2 \]
\[ L^2 = 100 - 64 \]
\[ L^2 = 36 \]
\[ L = \sqrt{36} \]
\[ L = 6 \]

Таким образом, боковая сторона параллелепипеда равна 6.

Теперь мы можем найти площадь боковых граней:

\[ S_{боковых} = 4 \cdot a \cdot L = 4 \cdot 8 \cdot 6 = 192 \]

Таким образом, площадь всех боковых граней равна 192.

Теперь найдем общую площадь поверхности параллелепипеда, сложив площади всех граней:

\[ S_{поверхности} = S_{верхней/нижней} + S_{боковых} = 48 + 192 = 240 \]

Ответ: площадь поверхности данного параллелепипеда равна 240.