Если известно, что треугольники подобны и к их периметрам отношение составляет 5/6, то каково отношение их площадей?

Dmitrievna

51

Чтобы найти отношение площадей подобных треугольников, мы можем воспользоваться тем фактом, что площадь треугольника пропорциональна квадрату его стороны.

Пусть стороны первого треугольника имеют длины \(a\), \(b\) и \(c\), а стороны второго треугольника имеют длины \(k \cdot a\), \(k \cdot b\) и \(k \cdot c\), где \(k\) - коэффициент подобия.

Так как отношение периметров треугольников составляет \(\frac{5}{6}\), то можно записать следующее уравнение:

\(a + b + c = \frac{5}{6} \cdot (k \cdot a + k \cdot b + k \cdot c)\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(a + b + c = \frac{5}{6} \cdot k \cdot (a + b + c)\)

Теперь сократим на \(a + b + c\):

\(1 = \frac{5}{6} \cdot k\)

Решим уравнение относительно \(k\):

\(k = \frac{6}{5}\)

Теперь, чтобы найти отношение площадей, воспользуемся формулой для площади треугольника:

\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\),

где \(C\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).

Так как площадь пропорциональна квадрату стороны, отношение площадей будет равно \(\left(\frac{6}{5}\right)^2\):

\(\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}\).

Итак, отношение площадей подобных треугольников равно \(\frac{36}{25}\).