Если log_a⁡(b)=3 и log_c⁡(a)=2, то какова значение выражения log_ac⁡(b)?

Skazochnyy_Fakir_7385

17

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы преобразовать выражение и найти значение \(log_{ac}(b)\). Давайте разберемся по шагам:

1. Так как \(log_a(b) = 3\), это означает, что \(a^3 = b\). Мы можем возвести обе стороны уравнения в степень \(c\) (так как \(log_c(a) = 2\)):

\((a^3)^c = b^c\)

2. Применяем свойство степени степени:

\(a^{3c} = b^c\)

3. Мы также знаем, что \(a = c^2\) (из условия \(log_c(a) = 2\)). Подставим это значение в выражение:

\((c^2)^{3c} = b^c\)

4. Далее упростим:

\(c^{6c} = b^c\)

5. Теперь мы можем выразить \(log_{ac}(b)\) по определению логарифма:

\(log_{ac}(b) = \frac{log(b)}{log(ac)}\)

6. Используя свойство логарифма, мы можем разбить знаменатель и числитель на две части:

\(log_{ac}(b) = \frac{log(b)}{log(a) + log(c)}\)

7. Теперь подставим значения из условия:

\(log_{ac}(b) = \frac{log(b)}{log(a) + log(c)} = \frac{log(b)}{3 + 2} = \frac{log(b)}{5}\)

Итак, значение выражения \(log_{ac}(b)\) равно \(\frac{log(b)}{5}\)