Если m и n являются корнями уравнения x²-109+108=0, то каково значение выражения m²+n², не решая уравнение?

Морской_Бриз

7

Для начала, давайте рассмотрим заданное уравнение внимательно: \(x^2 - 109x + 108 = 0\). Мы знаем, что \(m\) и \(n\) являются его корнями. Теперь мы можем использовать некоторые свойства корней уравнения, чтобы найти значение выражения \(m^2 + n^2\) без непосредственного решения уравнения.

Вспомним, что сумма корней уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) задается формулой:

\[m+n = -\frac{b}{a}.\]

Мы знаем, что в нашем уравнении коэффициент перед \(x^2\) равен 1 (поскольку это \(x^2\), а не \(ax^2\)), а коэффициент перед \(x\) равен -109. Таким образом, сумма корней \(m\) и \(n\) будет равна:

\[m + n = -\frac{b}{a} = -\frac{-109}{1} = 109.\]

Теперь, давайте воспользуемся еще одним свойством корней уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), которое гласит:

\[m \cdot n = \frac{c}{a}.\]

В нашем уравнении коэффициент перед свободным членом (108) равен 1, а коэффициент перед \(x^2\) равен 1. Таким образом, произведение корней \(m\) и \(n\) будет равно:

\[m \cdot n = \frac{c}{a} = \frac{108}{1} = 108.\]

Теперь мы можем использовать найденные значения \(m+n\) и \(m \cdot n\) для определения значения \(m^2 + n^2\). Мы можем использовать следующую формулу, которая связывает сумму и произведение корней:

\[m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2(m \cdot n).\]

Подставляя значения \(m + n = 109\) и \(m \cdot n = 108\), мы получаем:

\[m^2 + n^2 = (109)^2 - 2(108) = 11981 - 216 = 11765.\]

Таким образом, значение выражения \(m^2 + n^2\) равно 11765.