Если площадь большого круга, вписанного в конус, равна b квадратных дециметров, то какова площадь боковой поверхности

Глория

28

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать некоторые геометрические соотношения и формулы.

Обозначим площадь большого круга, вписанного в конус, как \(S_1\) (b квадратных дециметров). Пусть радиус этого круга равняется \(r_1\) (в дециметрах), а образующая конуса равна \(l\) (в дециметрах). Задано, что образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов.

Сначала вычислим площадь круга, используя формулу для площади круга:

\[S_1 = \pi r_1^2\]

Далее, выразим радиус \(r_1\) через образующую \(l\) и угол наклона. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, образующей и половиной основания, угол между радиусом и образующей равен 60 градусов. Также, у нас есть нижний прямоугольный треугольник с углом 90 градусов и катетом \(r_1\), поскольку он является радиусом:

\[\tan(60^\circ) = \frac{l}{r_1}\]

Отсюда можно получить:

\[r_1 = \frac{l}{\tan(60^\circ)}\]

Теперь мы можем выразить площадь боковой поверхности конуса, обозначим ее как \(S_2\). Эта боковая поверхность конуса представляет собой сектор круга, наклоненного под углом 60 градусов:

\(S_2 = \frac{1}{360^\circ} \times \pi r_1 l\)

Заменяя \(r_1\) на выражение, полученное ранее:

\(S_2 = \frac{1}{360^\circ} \times \pi \times \frac{l}{\tan(60^\circ)} \times l\)

Сокращая выражение:

\(S_2 = \frac{l^2 \pi}{360^\circ \tan(60^\circ)}\)

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна \(\frac{l^2 \pi}{360^\circ \tan(60^\circ)}\) квадратных дециметров.

Теперь, чтобы получить окончательное числовое значение, подставьте известное значение \(b\) вместо \(S_1\) и решите уравнение для \(l\):

\(b = \frac{l^2 \pi}{360^\circ \tan(60^\circ)}\)

Решая это уравнение, можно найти значение \(l\) и подставить его в выражение для \(S_2\) для получения окончательного ответа.