Если тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен 5/9, то какое будет значение большего основания, если значение

Глория

67

Для решения этой задачи нам понадобится знать определение тангенса и свойства прямоугольной трапеции.

Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен отношению противолежащего катета (разницы между большим и меньшим основаниями) к прилежащему катету (высоте). Пусть меньшее основание равно \(a\), а большее основание, которое мы хотим найти, равно \(b\). Тогда мы можем записать соотношение:

\[
\tan(\text{угол}) = \frac{a}{h}
\]

где \(h\) - высота трапеции.

Но у нас есть дополнительная информация, что тангенс острого угла равен 5/9. То есть:

\[
\tan(\text{угол}) = \frac{5}{9}
\]

Используя эти два уравнения, мы можем составить систему уравнений и решить ее. Для начала мы можем выразить высоту \(h\) через \(a\) и использовать это в уравнении для тангенса:

\[
h = \frac{a}{\tan(\text{угол})}
\]

Теперь, подставляя это значение в уравнение тангенса, мы получим:

\[
\tan(\text{угол}) = \frac{a}{\frac{a}{\tan(\text{угол})}} = \left(\frac{5}{9}\right)
\]

Таким образом, мы получили следующую систему уравнений:

\[
\begin{align*}
\tan(\text{угол}) &= \frac{a}{\frac{a}{\tan(\text{угол})}} = \frac{5}{9} \\
b &= a + 2h
\end{align*}
\]

Теперь давайте решим эту систему уравнений. Для начала, избавимся от дроби в первом уравнении:

\[
a = \frac{5}{9} \cdot \frac{a}{\tan(\text{угол})}
\]

Умножим обе части уравнения на \(\tan(\text{угол})\) и подставим значение тангенса:

\[
a = \frac{5}{9} \cdot \frac{a}{\frac{5}{9}} = a
\]

Таким образом, мы получаем \(a = a\), что говорит нам о том, что \(a\) может быть любым числом.

Теперь мы можем решить второе уравнение, используя найденное значение \(a\):

\[
b = a + 2h
\]

Подставляем значение \(h\) из уравнения \(h = \frac{a}{\tan(\text{угол})}\):

\[
b = a + 2 \cdot \frac{a}{\tan(\text{угол})}
\]

Подставляем значение \(\tan(\text{угол}) = \frac{5}{9}\):

\[
b = a + 2 \cdot \frac{a}{\frac{5}{9}} = a + 2 \cdot \frac{9a}{5} = a + \frac{18a}{5} = \frac{5a + 18a}{5} = \frac{23a}{5}
\]

Таким образом, большее основание равно \(\frac{23a}{5}\), где \(a\) - значение меньшего основания. Получается, что мы можем выбрать любое значение для меньшего основания, и большее основание будет равно \(\frac{23}{5}\) раз этого значения.