Если угол MNP равен углу QMN, угол MNQ равен углу NQM, и сторона NQ равна 9 см, то каков периметр треугольника MNQ?

Лиса_91

44

Для решения данной задачи мы можем использовать свойство треугольников, а именно то, что сумма всех внутренних углов треугольника равна 180 градусов.

Из условия задачи мы знаем, что угол MNP равен углу QMN, а угол MNQ равен углу NQM. Поэтому мы можем сделать вывод, что уголы MNP и MNQ также равны между собой.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем выразить углы треугольника MNQ через один из углов. Пусть угол MNP равен x градусов. Тогда угол MNQ также равен x градусов.

Сумма углов MNP, MNQ и NMQ должна равняться 180 градусов. Поэтому мы можем записать уравнение:
x + x + (180 - 2x) = 180

Решим это уравнение:
2x + 180 - 2x = 180
180 = 180

Это означает, что углы MNP, MNQ и NMQ действительно равны между собой и каждый из них равен 60 градусам.

Теперь, чтобы найти периметр треугольника MNQ, нам нужно знать длины его сторон. Из условия задачи мы знаем, что сторона NQ равна 9 см.

Чтобы найти длину стороны MN, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника MNQ. По теореме косинусов, мы можем записать:
\[MN^2 = MQ^2 + NQ^2 - 2 \cdot MQ \cdot NQ \cdot \cos(\angle MNQ)\]

У нас уже есть значение стороны NQ (9 см) и угол MNQ (60 градусов), поэтому мы можем подставить и решить уравнение:
\[MN^2 = MQ^2 + 9^2 - 2 \cdot MQ \cdot 9 \cdot \cos(60^\circ)\]

Теперь нам нужно найти длину стороны MQ. Мы можем использовать теорему синусов для треугольника MQN:
\[\frac{{MQ}}{{\sin(\angle MNQ)}} = \frac{{NQ}}{{\sin(\angle QMN)}}\]

Подставив значения, получим:
\[\frac{{MQ}}{{\sin(60^\circ)}} = \frac{{9}}{{\sin(60^\circ)}}\]

Теперь мы можем решить это уравнение для MQ:
\[MQ = \frac{{9 \cdot \sin(60^\circ)}}{{\sin(60^\circ)}} = 9\]

Подставим найденные значения в уравнение для MN:
\[MN^2 = 9^2 + 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot \cos(60^\circ)\]
\[MN^2 = 162 - 162 \cdot \frac{{1}}{{2}}\]
\[MN^2 = 162 - 81\]
\[MN^2 = 81\]
\[MN = 9\]

Таким образом, все стороны треугольника MNQ равны 9 см. И периметр треугольника MNQ можно найти, просуммировав длины всех его сторон:
Периметр = MN + NQ + MQ = 9 + 9 + 9 = 27 см.

Ответ: периметр треугольника MNQ равен 27 см.