Какова площадь треугольника MNK, если длина MN - 25 см, длина MK - 330 мм и угол M равен 30 градусам? Пожалуйста

Baska

27

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Для начала, давайте найдем длину стороны NK, используя теорему косинусов. Теорема косинусов гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \]

Где c - длина стороны противоположной углу C, a и b - длины двух других сторон, а C - угол между этими двумя сторонами.

Таким образом, применим теорему косинусов к треугольнику MNK. Мы знаем, что длина MN равна 25 см, длина MK равна 330 мм и угол M равен 30 градусам. Поскольку длины MN и MK не имеют одинаковую единицу измерения, мы должны привести их к одной единице. Давайте переведем длину MK из миллиметров в сантиметры. 330 мм = 33 см.

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу теоремы косинусов:

\[ NK^2 = MN^2 + MK^2 - 2 \cdot MN \cdot MK \cdot \cos M \]

\[ NK^2 = 25^2 + 33^2 - 2 \cdot 25 \cdot 33 \cdot \cos 30^\circ \]

Давайте вычислим это:

\[ NK^2 = 625 + 1089 - 1650 \cdot \cos 30^\circ \]

Не забывайте, что угол в формуле теоремы косинусов должен быть в радианах. Таким образом, нам потребуется конвертировать 30 градусов в радианы. 1 радиан = 180 градусов / \(\pi\), поэтому:

\[ 30^\circ = \frac{30}{180} \cdot \pi \]

\[ 30^\circ = \frac{\pi}{6} \]

Теперь, рассчитаем значение косинуса угла:

\[ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Вернемся к формуле:

\[ NK^2 = 625 + 1089 - 1650 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Продолжим вычисления:

\[ NK^2 = 1714 - 825 \cdot \sqrt{3} \]

Затем найдем квадратный корень из значений:

\[ NK \approx \sqrt{1714 - 825 \cdot \sqrt{3}} \]

Давайте найдем приближенное значение:

\[ NK \approx 4.082 \, \text{см} \]

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу площади треугольника:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона} \cdot \text{высота} \]

У нас есть длина стороны NK, но нам также необходимо найти высоту треугольника.

Так как угол M равен 30 градусам, мы можем использовать формулу для вычисления высоты треугольника:

\[ \text{Высота} = \text{сторона} \cdot \sin \text{угла} \]

\[ \text{Высота} = NK \cdot \sin M \]

Заметим, что мы уже нашли значение для NK - 4.082 см, и теперь мы можем вычислить значение для высоты:

\[ \text{Высота} = 4.082 \cdot \sin 30^\circ \]

\[ \text{Высота} = 4.082 \cdot \frac{1}{2} \]

\[ \text{Высота} \approx 2.041 \, \text{см} \]

Теперь, чтобы найти площадь треугольника MNK, умножим значение длины стороны NK на значение высоты и разделим его на 2:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot NK \cdot \text{Высота} \]

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 4.082 \cdot 2.041 \]

\[ \text{Площадь} \approx 4.169 \, \text{см}^2 \]

Ответ: Площадь треугольника MNK равна примерно 4.169 см².