Найдите координаты четвёртой вершины C в квадрате ABCD, где заданы координаты вершин A(-5;1) B(1;2) D(1;-4). 1)C(-1;4

Амелия

2

Для решения данной задачи, нам необходимо применить свойство параллельных сторон прямоугольника. В прямоугольнике ABCD противоположные стороны параллельны и имеют равные длины.

По условию, известны координаты трех вершин данного квадрата: A(-5;1), B(1;2) и D(1;-4). Мы должны найти координаты четвёртой вершины C в квадрате ABCD.

Чтобы это сделать, мы можем использовать свойство параллельных сторон прямоугольника. Сравним стороны AB и CD, а также стороны BC и AD, чтобы найти перпендикулярные стороны к АВ.

AB имеет точку начала в (х1; у1) = (-5;1), а точку конца в (х2; у2) = (1;2).

CD имеет точку начала в (х3; у3) = (1;2), а точку конца в (х4; у4) = (...;...).

Подставим значения и получаем уравнения:

\[ AB: (x_1, y_1) = (-5, 1), (x_2, y_2) = (1, 2) \]
\[ CD: (x_3, y_3) = (1, 2), (x_4, y_4) = (x_4, y_4) \]

Применяя формулы для длины стороны прямоугольника:

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
\[ CD = \sqrt{(x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2} \]

\[ \sqrt{(1 - -5)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \]
\[ \sqrt{(x_4 - 1)^2 + (y_4 - 2)^2} = \sqrt{(x_4 + 1)^2 + (y_4 - 2)^2}\]

Так как стороны AB и CD равны, мы можем приравнять их:

\[ \sqrt{37} = \sqrt{(x_4 + 1)^2 + (y_4 - 2)^2} \]

Раскрываем квадраты:
\[ 37 = (x_4 + 1)^2 + (y_4 - 2)^2 \]

Теперь возьмем варианты ответа и по очереди подставим их координаты в уравнение:

1) C(-1;4)
\[ 37 = (-1 + 1)^2 + (4 - 2)^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\]
2) C(-5;1)
\[ 37 = (-5 + 1)^2 + (1 - 2)^2 = 16^2 + (-1)^2 = 25 + 1 = 26\]
3) C(5;-1)
\[ 37 = (5 + 1)^2 + (-1 - 2)^2 = 6^2 + (-3)^2 = 36 + 9 = 45\]
4) C(1;-4)
\[ 37 = (1 + 1)^2 + (-4 - 2)^2 = 2^2 + (-6)^2 = 4 + 36 = 40\]

Таким образом, только вариант 2) C(-5;1) является правильным, так как при его подстановке в уравнение мы получаем равенство 37 = 37.

Ответ: 2) C(-5;1)