Если в наборе из n чисел увеличить одно число, на сколько изменится среднее арифметическое этого набора?

Kote_7855

15

Чтобы решить эту задачу, сперва нам нужно понять, как формула среднего арифметического изменяется при изменении одного числа в наборе.

Среднее арифметическое \(M\) чисел в наборе можно вычислить, разделив сумму всех чисел \(S\) на количество чисел \(n\):
\[M = \frac{S}{n}\]
где \(S\) - сумма чисел в наборе.

Теперь давайте предположим, что в наборе из \(n\) чисел одно число \(x\) увеличили на \(k\). Обозначим полученное число как \(x"\). Тогда сумма чисел в новом наборе будет равна:
\[S" = (S - x) + x"\]
Теперь нам нужно вычислить новое среднее арифметическое \(M"\).

Подставим новую сумму \(S"\) в формулу для среднего арифметического:
\[M" = \frac{S"}{n} = \frac{(S - x) + x"}{n}\]

Раскроем скобки:
\[M" = \frac{S - x + x"}{n}\]

Мы можем заметить, что сумма \(S - x + x"\) эквивалентна сумме всех чисел изначального набора, поскольку все числа, кроме \(x\), остаются неизменными. Таким образом, \(S - x + x"\) равно \(S\). Подставим это значение обратно в формулу для нового среднего арифметического:
\[M" = \frac{S}{n}\]

Как видно из полученной формулы, среднее арифметическое нового набора чисел \(M"\) будет таким же, как и среднее арифметическое изначального набора чисел \(M\). То есть, при увеличении одного числа в наборе среднее арифметическое не изменяется.

Таким образом, при увеличении одного числа в наборе среднее арифметическое этого набора останется таким же.