Если x> 0 и xy=20, то каково наименьшее значение выражения x+5y?

Барбос

66

Давайте разберемся в этой задаче step-by-step.

У нас есть два условия:

1. \(x > 0\)
2. \(xy = 20\)

Мы хотим найти наименьшее значение выражения \(x + 5y\). Для начала давайте упростим выражение, подставив второе условие:

\(x + 5y = x + 5 \cdot \frac{{20}}{x}\)

Теперь давайте попробуем найти наименьшее значение этого выражения. Для этого мы можем использовать метод дифференцирования. Дифференцируем выражение \(x+5y\) по переменной \(x\):

\(\frac{{d(x + 5 \cdot \frac{{20}}{x})}}{{dx}} = 1 - \frac{{100}}{{x^2}}\)

Теперь найдем точку экстремума этой функции, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

\(1 - \frac{{100}}{{x^2}} = 0\)

\(\frac{{100}}{{x^2}} = 1\)

\(x^2 = 100\)

\(x = \pm 10\)

Так как в условии задачи сказано, что \(x > 0\), мы можем отбросить отрицательное значение \(x = -10\). Итак, мы получаем \(x = 10\).

Теперь найдем значение \(y\) подставив \(x = 10\) во второе условие:

\(xy = 20\)

\(10y = 20\)

\(y = 2\)

Теперь мы можем найти искомое минимальное значение \(x + 5y\):

\(x + 5y = 10 + 5 \cdot 2 = 10 + 10 = 20\)

Итак, наименьшее значение выражения \(x + 5y\) равно 20.

Окончательный ответ: наименьшее значение выражения \(x + 5y\) равно 20 при условии, что \(x = 10\) и \(y = 2\).