Каков угол между лучом ОР и положительной полуосью ОХ, если координаты точки Р равны: а) (-2; 2√3) б) (3√3

Putnik_Sudby

18

а) Координаты точки P равны (-2; 2√3). Чтобы найти угол между лучом OR и положительной полуосью OX, мы можем использовать тригонометрические соотношения.

Положительная полуось OX - это горизонтальная ось, а луч OR - это луч, проходящий через начало координат и точку P. Мы можем представить луч OR в виде отрезка OP и отрезка PR.

Первым шагом найдем длину отрезка OP.
Длина отрезка OP равна корню из суммы квадратов координат точки P:
\[ OP = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \]

Теперь найдем длину отрезка PR.
Длина отрезка PR равна модулю координаты точки P по вертикальной оси:
\[ PR = |2\sqrt{3}| = 2\sqrt{3} \]

Теперь мы можем найти косинус угла между лучом OR и положительной полуосью OX, используя соотношение:
\[ \cos(\theta) = \frac{OP}{PR} \]

Подставим значения:
\[ \cos(\theta) = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \]

Для нахождения значения угла между лучом OR и положительной полуосью OX, мы можем использовать обратную функцию косинуса:

\[ \theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \]

Таким образом, угол между лучом ОР и положительной полуосью ОХ равен \( \theta \) равен \( \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \) радиан.

б) Координаты точки P равны (3√3; -1). Давайте применим тот же подход, чтобы найти угол между лучом ОР и положительной полуосью ОХ.

Найдем длину отрезка OP:
\[ OP = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{27 + 1} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \]

Длина отрезка PR (вертикальная координата точки P) равна модулю -1:
\[ PR = |-1| = 1 \]

Теперь найдем косинус угла:
\[ \cos(\theta) = \frac{OP}{PR} = \frac{2\sqrt{7}}{1} = 2\sqrt{7} \]

Используя обратную функцию косинуса, найдем значение угла:
\[ \theta = \arccos(2\sqrt{7}) \]

Таким образом, угол между лучом ОР и положительной полуосью ОХ равен \( \theta \) равен \( \arccos(2\sqrt{7}) \) радиан.