В пределах натуральных чисел, превышающих 20, определите наименьшее натуральное число, которое: а) имеет остаток

Владимир

47

на 14, равный остатку при делении на 16.

Хорошо, начнем с задачи а). Нам нужно определить наименьшее натуральное число, которое имеет остаток 8 при делении на 12. Для этого мы можем просто начать с числа 8 и последовательно увеличивать его на 12, пока не найдем число, удовлетворяющее условию.

\[
8, 8 + 12 = 20, 20 + 12 = 32, 32 + 12 = 44, \ldots
\]

Продолжая данную последовательность, мы увидим, что наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию, равно 44.

Теперь перейдем к задаче б). Нам нужно найти число, которое имеет остаток при делении на 14, равный остатку при делении на 16. Для решения этой задачи мы можем воспользоваться алгоритмом Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 14 и 16.

1. Найдем НОД(14, 16). Для этого мы можем разделить 16 на 14 и найти остаток:

\[
16 = 14 \cdot 1 + 2
\]

2. Теперь мы можем использовать это остаток в следующей итерации:

\[
14 = 2 \cdot 7 + 0
\]

Как видно, остаток равен 0, что означает, что последний остаток, который мы получили, является НОД(14, 16).

3. Теперь нам нужно найти число, которое имеет данный остаток при делении и на 14, и на 16. Мы можем начать с числа 0 и последовательно увеличивать его на НОК(14, 16) (наименьшее общее кратное чисел 14 и 16), пока не найдем число, удовлетворяющее условию.

\[
0, 0 + 112 = 112, 112 + 112 = 224, \ldots
\]

Продолжая данную последовательность, мы увидим, что число, имеющее остаток при делении на 14, равный остатку при делении на 16, равно 224.

Таким образом, ответ на задачу б) составляет 224.

Надеюсь, данное пояснение помогло. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!