Если xy = 6 и x^2y + xy^2 + x + y = 63, то какое значение имеет выражение x^2 + y^2 (возводится в квадрат)?

Veselyy_Pirat

40

Чтобы решить данную задачу, мы сначала рассмотрим, что означает выражение $x^2+y^2$, возводящееся в квадрат. Затем мы воспользуемся данными условиями задачи для того, чтобы выразить $x$ и $y$ через известные значения и получить окончательный ответ.

Выражение $x^2+y^2$ возводится в квадрат означает, что мы должны возвести это выражение в степень 2, то есть умножить его само на себя. Таким образом, $(x^2+y^2{)}^2$ можно переписать как $(x^2+y^2)\cdot (x^2+y^2)$.

Теперь обратимся к условию задачи. У нас дано, что $xy=6$ и $x^{2}y+x{y}^2+x+y=63$. Мы можем воспользоваться первым уравнением для выражения переменной одной из переменных и подставить ее значение во второе уравнение. Давайте выразим $y$ через $x$.

У нас есть $xy=6$, поэтому можно разделить обе части этого уравнения на $x$ для получения $y=\frac{6}{x}$.

Теперь подставим это значение $y$ во второе уравнение:

$$x^{2}y+x{y}^2+x+y=63$$

Подставим $y=\frac{6}{x}$:

$$x^2\cdot \frac{6}{x}+x\cdot {\left(\frac{6}{x}\right)}^2+x+\frac{6}{x}=63$$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$$6x+\frac{6}{x^2}+x+\frac{6}{x}=63$$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$$7x+\frac{6}{x}+\frac{6}{x^2}=63$$

Умножим все члены на $x^2$, чтобы избавиться от дробей:

$$7x^3+6x+6=63x^2$$

Теперь приведем все члены в уравнении в одну степень и перепишем его в квадратичной форме:

$$7x^3-63x^2+6x-57=0$$

На этом этапе мы можем решить кубическое уравнение, чтобы найти значение $x$, но это будет довольно сложно и займет много времени. Вместо этого мы воспользуемся компьютерной программой или калькулятором, чтобы решить это уравнение и найти значение $x$.

После решения уравнения мы узнаем, какие значения принимает $x$. Затем мы можем использовать это значение $x$, чтобы вычислить значение $y$ с помощью уравнения $y=\frac{6}{x}$. После нахождения $x$ и $y$ мы сможем найти значение $x^2+y^2$ путем подстановки найденных значений в выражение $x^2+y^2$.

Таким образом, чтобы узнать, какое значение имеет выражение $x^2+y^2$ возводится в квадрат, необходимо решить уравнение $7x^3-63x^2+6x-57=0$, найти значения $x$ и $y$, и подставить их в выражение $x^2+y^2$.