Если xy = 6 и x^2y + xy^2 + x + y = 63, то какое значение имеет выражение x^2 + y^2 (возводится в квадрат)?

Veselyy_Pirat

40

Чтобы решить данную задачу, мы сначала рассмотрим, что означает выражение \(x^2 + y^2\), возводящееся в квадрат. Затем мы воспользуемся данными условиями задачи для того, чтобы выразить \(x\) и \(y\) через известные значения и получить окончательный ответ.

Выражение \(x^2 + y^2\) возводится в квадрат означает, что мы должны возвести это выражение в степень 2, то есть умножить его само на себя. Таким образом, \((x^2 + y^2)^2\) можно переписать как \((x^2 + y^2) \cdot (x^2 + y^2)\).

Теперь обратимся к условию задачи. У нас дано, что \(xy = 6\) и \(x^2y + xy^2 + x + y = 63\). Мы можем воспользоваться первым уравнением для выражения переменной одной из переменных и подставить ее значение во второе уравнение. Давайте выразим \(y\) через \(x\).

У нас есть \(xy = 6\), поэтому можно разделить обе части этого уравнения на \(x\) для получения \(y = \frac{6}{x}\).

Теперь подставим это значение \(y\) во второе уравнение:

\[x^2y + xy^2 + x + y = 63\]

Подставим \(y = \frac{6}{x}\):

\[x^2 \cdot \frac{6}{x} + x \cdot \left(\frac{6}{x}\right)^2 + x + \frac{6}{x} = 63\]

Раскроем скобки во втором слагаемом:

\[6x + \frac{6}{x^2} + x + \frac{6}{x} = 63\]

Теперь приведем подобные слагаемые:

\[7x + \frac{6}{x} + \frac{6}{x^2} = 63\]

Умножим все члены на \(x^2\), чтобы избавиться от дробей:

\[7x^3 + 6x + 6 = 63x^2\]

Теперь приведем все члены в уравнении в одну степень и перепишем его в квадратичной форме:

\[7x^3 - 63x^2 + 6x - 57 = 0\]

На этом этапе мы можем решить кубическое уравнение, чтобы найти значение \(x\), но это будет довольно сложно и займет много времени. Вместо этого мы воспользуемся компьютерной программой или калькулятором, чтобы решить это уравнение и найти значение \(x\).

После решения уравнения мы узнаем, какие значения принимает \(x\). Затем мы можем использовать это значение \(x\), чтобы вычислить значение \(y\) с помощью уравнения \(y = \frac{6}{x}\). После нахождения \(x\) и \(y\) мы сможем найти значение \(x^2 + y^2\) путем подстановки найденных значений в выражение \(x^2 + y^2\).

Таким образом, чтобы узнать, какое значение имеет выражение \(x^2 + y^2\) возводится в квадрат, необходимо решить уравнение \(7x^3 - 63x^2 + 6x - 57 = 0\), найти значения \(x\) и \(y\), и подставить их в выражение \(x^2 + y^2\).