Какие значения принимает функция, если y=-1+arccos(3x-1)?

Baska_9156

4

Давайте разберемся с задачей поэтапно:

Шаг 1: Разберемся с функцией \(y = -1 + \arccos(3x-1)\)

Здесь мы имеем функцию, в которой аргументом является выражение \(3x-1\), а \(y\) равно \(-1\) плюс арккосинус этого выражения.

Шаг 2: Определение области определения функции

В функции \(\arccos(x)\) область определения - это значения \(x\), для которых \(-1 \leq x \leq 1\). В нашем случае, область определения \((3x-1)\) зависит от значения \(x\). Чтобы узнать область определения функции \(y = -1 + \arccos(3x-1)\), мы должны решить неравенство \(-1 \leq 3x - 1 \leq 1\).

Решив это неравенство, получаем:

\[-1 \leq 3x - 1 \leq 1\]

Добавляем \(1\) к каждой части неравенства:

\[0 \leq 3x \leq 2\]

Теперь делим все неравенство на \(3\):

\[0 \leq x \leq \frac{2}{3}\]

Таким образом, область определения нашей функции - это интервал \([0, \frac{2}{3}]\).

Шаг 3: Определение значения функции

Теперь, когда мы определили область определения, давайте посмотрим, какие значения принимает функция \(y = -1 + \arccos(3x-1)\) в этом интервале.

Функция \(\arccos(x)\) принимает значения от \(0\) до \(\pi\), где \(0\) соответствует \(\arccos(1)\) и \(\pi\) соответствует \(\arccos(-1)\). Так как наше выражение \(3x-1\) находится внутри функции, оно будет изменяться в интервале от \(-1\) до \(1\) в зависимости от значения \(x\). Поэтому, график нашей функции будет изменяться от \(-1 + \arccos(-1)\) до \(-1 + \arccos(1)\).

\(\arccos(-1)\) равно \(\pi\), поэтому минимальное значение функции будет:

\(y_{\text{min}} = -1 + \pi\)

\(\arccos(1)\) равно \(0\), поэтому максимальное значение функции будет:

\(y_{\text{max}} = -1 + 0\)

Таким образом, значения функции \(y = -1 + \arccos(3x-1)\) в области определения \([0, \frac{2}{3}]\) будут варьироваться от \(-1 + \pi\) до \(-1 + 0\). Получаем:

\(y \in [\pi - 1, -1]\)

Итак, функция принимает значения от \(\pi - 1\) до \(-1\) в области определения \([0, \frac{2}{3}]\).