Где находится центр масс системы тел с тремя точечными телами массами m, m и 2m, расположенными в вершинах

Ледяная_Сказка

56

Для решения данной задачи, нам необходимо найти положение центра масс системы тел с тремя точечными телами массами \(m\), \(m\) и \(2m\), расположенными в вершинах равнобедренного треугольника.

Находим центр масс каждой отдельной точечной массы в системе. Для этого воспользуемся формулой:

\[x_{cm} = \frac{{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2 + ... + m_n \cdot x_n}}{{m_1 + m_2 + ... + m_n}}\]

где:
\(x_{cm}\) - координата центра масс,
\(m_1, m_2, ..., m_n\) - массы тел,
\(x_1, x_2, ..., x_n\) - координаты тел.

Вершины равнобедренного треугольника можно обозначить \(A\), \(B\) и \(C\). Расстояния от вершин треугольника до центра масс выражаются через стороны, и равны следующим значениям: \(r_1 = \frac{2}{3}a\), \(r_2 = \frac{2}{3}a\), \(r_3 = \frac{2}{3}\sqrt{2}a\), где \(a\) - длина стороны равнобедренного треугольника.

Теперь мы можем рассчитать координаты центра масс. Пусть точка \(O\) будет произвольной точкой на плоскости, а \(x, y\) - ее координаты. Тогда координаты центра масс можно выразить следующим образом:

\[x_{cm} = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2 + m_3 \cdot x_3}{m_1 + m_2 + m_3}\]
\[y_{cm} = \frac{m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2 + m_3 \cdot y_3}{m_1 + m_2 + m_3}\]

В нашем случае, у нас есть равенство всех трех масс, поэтому можно перейти к следующему выражению:

\[x_{cm} = \frac{m \cdot r_1 + m \cdot r_2 + 2m \cdot r_3}{m + m + 2m}\]
\[y_{cm} = \frac{m \cdot 0 + m \cdot 0 + 2m \cdot \frac{2}{3}\frac{a}{\sqrt{2}}}{m + m + 2m}\]

Выполняя вычисления получаем:

\[x_{cm} = \frac{4ar_3}{6m} = \frac{2a\sqrt{2}}{3}\]
\[y_{cm} = 0\]

Ответ: Центр масс системы тел с тремя точечными телами массами \(m\), \(m\) и \(2m\), расположенными в вершинах равнобедренного треугольника, находится на расстоянии \(\frac{2a\sqrt{2}}{3}\) от одной из вершин треугольника и находится на оси x, а координата y равна 0.