Какое условие необходимо выполнить, чтобы неравенство 12у-4у^2-11 было истинным?

Цветочек

12

Чтобы найти условие, при котором данное неравенство \(12u - 4u^2 - 11\) будет истинным, нужно найти значения \(u\), при которых выражение \(12u - 4u^2 - 11\) будет положительным или нулевым.

Для начала, давайте расположим это выражение в порядке убывания степеней переменной \(u\):

\[ -4u^2 + 12u - 11 \]

Теперь обратим внимание на его график. Заметим, что у данного квадратного трехчлена отрицательный коэффициент при старшей степени \(u^2\), поэтому график будет представлять собой параболу, "огибающую" вертикальную ось ветвями вниз.

Нам нужно найти значения \(u\), для которых это выражение больше или равно нулю, то есть, значения \(u\), когда парабола пересекает или коснется горизонтальной оси.

Чтобы найти такие значения \(u\), решим неравенство \( -4u^2 + 12u - 11 \ge 0 \).

Для начала, найдем вершины параболы, так как эти точки являются точками пересечения с осью симметрии:

\[ u = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2(-4)} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]

Значение \( u = \frac{3}{2} \) является х координатой вершины параболы. Теперь, чтобы найти значение выражения в этой точке, подставим \( u = \frac{3}{2} \) в \( -4u^2 + 12u - 11 \):

\[ -4\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 12\left(\frac{3}{2}\right) - 11 = -4\left(\frac{9}{4}\right) + 18 - 11 = -9 + 18 - 11 = -2 \]

Значение выражения в этой точке -2. Теперь посмотрим на график параболы и видим, что она направлена вниз и отрицательна в точке вершины (\(u = \frac{3}{2}\)). То есть, она будет положительной слева и справа от этой точки и будет отрицательной между точками.

Итак, ответом на задачу будет:

Неравенство \(12u - 4u^2 - 11\) будет истинным при выполнении условия \(u \leq \frac{3}{2}\) или \(u \geq \frac{3}{2}\).